Ensino Superior ⇒ integral imprópria Tópico resolvido

[fribeiro]

Podem me ajudar com essa integral?

[tex3]\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x}{x^{3}+1}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x}{x^{3}+1}dx[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Para x > 0 , [tex3]\frac{x}{x^3+1}<\frac{x}{x^3}=\frac{1}{x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{x^3+1}<\frac{x}{x^3}=\frac{1}{x^2}[/tex3]

.

Como [tex3]\int\limits_{1}^{∞}\frac{1}{x^2}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{1}^{∞}\frac{1}{x^2}dx[/tex3]

é convergente, com p = 2 > 1, então [tex3]\int\limits_{1}^{∞}\frac{x}{x^3+1}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{1}^{∞}\frac{x}{x^3+1}dx[/tex3]

é convergente pelo teorema da comparação.

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{x^3+1}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{x^3+1}dx[/tex3]

é uma constante, logo [tex3]\int\limits_{0}^{∞}\frac{x}{x^3+1}dx=\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{x^3+1}dx+\int\limits_{1}^{∞}\frac{x}{x^3+1}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{∞}\frac{x}{x^3+1}dx=\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{x^3+1}dx+\int\limits_{1}^{∞}\frac{x}{x^3+1}dx[/tex3]

também é convergente.


Portanto, [tex3]\int\limits_{0}^{∞}\frac{x}{x^3+1}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{∞}\frac{x}{x^3+1}dx[/tex3]

é convergente.




Bons estudos!