Resposta
[tex3]\frac{4 -3ln3}{6}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integral Tópico resolvido
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RinaldoEN19 
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Mai 2019
15
02:29
Integral
Calcule a área do conjunto de todos (x,y) tais que x [tex3]\geq \sqrt{1+y^{2}}[/tex3]
e 2x+y [tex3]\leq [/tex3]
2.
[tex3]\frac{4 -3ln3}{6}[/tex3]
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Cardoso1979 
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Mai 2019
16
12:18
Re: Integral
Observe
Uma solução:
x ≥ √( 1 + y² ) → x² - y² = 1 ( I ) ( trata-se de uma hipérbole , como x ≥ √( 1 + y² ) , parte dela está localizada no 1° e 4° quadrantes )
e
2x + y ≤ 2 → y = 2 - 2x ( I I ) ( reta passando pelo 1° , 2° e 3° quadrantes )
Devemos então fazer a Interseção entre ambas , para podermos restringir a área determinadas pelas mesmas.
Substituindo ( I I ) em ( I ), vem;
x² - ( 2 - 2x )² = 1
x² - ( 4 - 8x + 4x² ) = 1 [tex3]\therefore [/tex3]
3x² - 8x + 5 = 0 → tem como raízes x = 1 , x = 5/3
Substituindo esses valores encontrados na reta y = 2 - 2x , encontramos os seguintes valores , para x = 1 → y = 0 logo Q( 1 , 0 ) , para x = 5/3 → y = - 4/3 logo P( 5/3 , - 4/3 ). Assim, parte do gráfico está representado na figura abaixo:
Analisando o gráfico acima , temos que , a área a ser determinada é dada por:
[tex3]A=\int\limits_{1}^{\frac{5}{3}}(2-2x+\sqrt{x^2-1}) \ dx[/tex3]
Obs.1 A integral de ( 2 - 2x ) é 2x - x². ( I I I )
Obs.2 Já a integral de √( x² - 1 ) é resolvida por substituição trigonométrica.
Fazendo a substituição x = sec (u) → dx = tg (u).sec (u) du ( 0 < u < π/2 ) , daí;
Obs. 3 Não vou fazer a mudança dos integrantes não, pois podemos encontrar "um problemão", e irei deixar para substituir os integrantes ao final do cálculo
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{sec^2(u)-1}tg(u).sec(u) \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{tg^2(u)}tg(u).sec(u) \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}|tg(u)|.tg(u).sec(u) \ du=[/tex3]
Obs.4 | tg (u) | = tg (u), pois , tg (u) > 0 ( 0 < u < π/2 )
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}tg^2(u).sec (u) \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits sec (u).[ sec^2 (u)-1] \ du=\int\limits_{}^{}sec^3(u)du-\int\limits_{}^{}sec(u)du=[/tex3]
Obs.5 Para a primeira integral basta usar a fórmula de recorrência: [tex3]\int\limits_{}^{}sec^n(x)dx=\frac{sec^{n-2}(x).tg (x)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\limits_{}^{}sec^{n-2}(x)dx[/tex3] .
Dito isso , resulta que;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}+\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}sec (u)du[/tex3]
Obs.6 Com relação a integral de sec(u) , já sabemos o seu resultado, pois trata-se de uma integral "imediata" e tem como resultado ln | sec (u) + tg (u) |.
Logo;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}+\frac{1}{2}.ln|sec (u)+tg (u)|[/tex3]
Então;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du-\int\limits_{}^{}sec(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}+\frac{1}{2}.ln|sec (u)+tg (u)| - ln|sec (u)+tg (u)|[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du-\int\limits_{}^{}sec(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}-\frac{1}{2}.ln|sec (u)+tg (u)|( IV)[/tex3]
Obs.6 Note que ;
x = sec (u) → sec²(u) - 1 = tg ² (u) → x² - 1 = tg² (u)
Como sec (u) , tg (u) > 0 , tg (u) = √( x² - 1 ), fica;
Substituindo esses dados da Obs.6 em ( IV ), vem;
[tex3]=\frac{x.\sqrt{x^2-1}}{2}-\frac{1}{2}.ln[x+\sqrt{x^2-1}](V)[/tex3]
Juntando ( I I I ) e ( V ) , fica;
[tex3]A=[\frac{x.\sqrt{x^2-1}}{2}-\frac{1}{2}.ln(x+\sqrt{x^2-1})+2x-x^2]_{1}^{\frac{5}{3}}[/tex3]
[tex3]A=\frac{5\sqrt{\frac{25-9}{9}}}{6}-\frac{1}{2}ln\left(\frac{5}{3}+\sqrt{\frac{25-9}{9}}\right)+2.\frac{5}{3}-\frac{25}{9}-0+0-2.1+1²[/tex3]
[tex3]A=\frac{\frac{5.4}{3}}{6}-\frac{1}{2}.ln\left(\frac{5}{3}+\frac{4}{3}\right)+\frac{10}{3}-\frac{25}{9}-1[/tex3] [tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]A=\frac{12-9ln(3)}{18}[/tex3]
Portanto, a área procurada é [tex3]\frac{4-3ln(3)}{6}[/tex3] .
Bons estudos!
Uma solução:
x ≥ √( 1 + y² ) → x² - y² = 1 ( I ) ( trata-se de uma hipérbole , como x ≥ √( 1 + y² ) , parte dela está localizada no 1° e 4° quadrantes )
e
2x + y ≤ 2 → y = 2 - 2x ( I I ) ( reta passando pelo 1° , 2° e 3° quadrantes )
Devemos então fazer a Interseção entre ambas , para podermos restringir a área determinadas pelas mesmas.
Substituindo ( I I ) em ( I ), vem;
x² - ( 2 - 2x )² = 1
x² - ( 4 - 8x + 4x² ) = 1 [tex3]\therefore [/tex3]
3x² - 8x + 5 = 0 → tem como raízes x = 1 , x = 5/3
Substituindo esses valores encontrados na reta y = 2 - 2x , encontramos os seguintes valores , para x = 1 → y = 0 logo Q( 1 , 0 ) , para x = 5/3 → y = - 4/3 logo P( 5/3 , - 4/3 ). Assim, parte do gráfico está representado na figura abaixo:
- 15580155769275651855403510167036.jpg (20.59 KiB) Exibido 373 vezes
Analisando o gráfico acima , temos que , a área a ser determinada é dada por:
[tex3]A=\int\limits_{1}^{\frac{5}{3}}(2-2x+\sqrt{x^2-1}) \ dx[/tex3]
Obs.1 A integral de ( 2 - 2x ) é 2x - x². ( I I I )
Obs.2 Já a integral de √( x² - 1 ) é resolvida por substituição trigonométrica.
Fazendo a substituição x = sec (u) → dx = tg (u).sec (u) du ( 0 < u < π/2 ) , daí;
Obs. 3 Não vou fazer a mudança dos integrantes não, pois podemos encontrar "um problemão", e irei deixar para substituir os integrantes ao final do cálculo
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{sec^2(u)-1}tg(u).sec(u) \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{tg^2(u)}tg(u).sec(u) \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}|tg(u)|.tg(u).sec(u) \ du=[/tex3]
Obs.4 | tg (u) | = tg (u), pois , tg (u) > 0 ( 0 < u < π/2 )
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}tg^2(u).sec (u) \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits sec (u).[ sec^2 (u)-1] \ du=\int\limits_{}^{}sec^3(u)du-\int\limits_{}^{}sec(u)du=[/tex3]
Obs.5 Para a primeira integral basta usar a fórmula de recorrência: [tex3]\int\limits_{}^{}sec^n(x)dx=\frac{sec^{n-2}(x).tg (x)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\limits_{}^{}sec^{n-2}(x)dx[/tex3] .
Dito isso , resulta que;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}+\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}sec (u)du[/tex3]
Obs.6 Com relação a integral de sec(u) , já sabemos o seu resultado, pois trata-se de uma integral "imediata" e tem como resultado ln | sec (u) + tg (u) |.
Logo;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}+\frac{1}{2}.ln|sec (u)+tg (u)|[/tex3]
Então;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du-\int\limits_{}^{}sec(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}+\frac{1}{2}.ln|sec (u)+tg (u)| - ln|sec (u)+tg (u)|[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du-\int\limits_{}^{}sec(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}-\frac{1}{2}.ln|sec (u)+tg (u)|( IV)[/tex3]
Obs.6 Note que ;
x = sec (u) → sec²(u) - 1 = tg ² (u) → x² - 1 = tg² (u)
Como sec (u) , tg (u) > 0 , tg (u) = √( x² - 1 ), fica;
Substituindo esses dados da Obs.6 em ( IV ), vem;
[tex3]=\frac{x.\sqrt{x^2-1}}{2}-\frac{1}{2}.ln[x+\sqrt{x^2-1}](V)[/tex3]
Juntando ( I I I ) e ( V ) , fica;
[tex3]A=[\frac{x.\sqrt{x^2-1}}{2}-\frac{1}{2}.ln(x+\sqrt{x^2-1})+2x-x^2]_{1}^{\frac{5}{3}}[/tex3]
[tex3]A=\frac{5\sqrt{\frac{25-9}{9}}}{6}-\frac{1}{2}ln\left(\frac{5}{3}+\sqrt{\frac{25-9}{9}}\right)+2.\frac{5}{3}-\frac{25}{9}-0+0-2.1+1²[/tex3]
[tex3]A=\frac{\frac{5.4}{3}}{6}-\frac{1}{2}.ln\left(\frac{5}{3}+\frac{4}{3}\right)+\frac{10}{3}-\frac{25}{9}-1[/tex3] [tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]A=\frac{12-9ln(3)}{18}[/tex3]
Portanto, a área procurada é [tex3]\frac{4-3ln(3)}{6}[/tex3] .
Bons estudos!
-
Cardoso1979
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Mai 2019
16
18:37
Re: Integral
Cardoso1979 escreveu: ↑Qui 16 Mai, 2019 12:18Observe
Uma solução:
x ≥ √( 1 + y² ) → x² - y² = 1 ( I ) ( trata-se de uma hipérbole , como x ≥ √( 1 + y² ) , parte dela está localizada no 1° e 4° quadrantes )
e
2x + y ≤ 2 → y = 2 - 2x ( I I ) ( reta passando pelo 1° , 2° e 3° quadrantes )
Devemos então fazer a Interseção entre ambas , para podermos restringir a área determinadas pelas mesmas.
Substituindo ( I I ) em ( I ), vem;
x² - ( 2 - 2x )^2 = 1
x² - ( 4 - 8x + 4x² ) = 1 [tex3]\therefore [/tex3]
3x² - 8x + 5 = 0 → tem como raízes x = 1 , x = 5/3
Substituindo esses valores encontrados na reta y = 2 - 2x , encontramos os seguintes valores , para x = 1 → y = 0 logo Q( 1 , 0 ) , para x = 5/3 → y = - 4/3 logo P( 5/3 , - 4/3 ). Assim, parte do gráfico está representado na figura abaixo:
15580155769275651855403510167036.jpg
Analisando o gráfico acima , temos que , a área a ser determinada é dada por:
[tex3]A=\int\limits_{1}^{\frac{5}{3}}(2-2x+\sqrt{x^2-1}) \ dx[/tex3]
Obs.1 A integral de ( 2 - 2x ) é 2x - x². ( I I I )
Obs.2 Já a integral de √( x² - 1 ) é resolvida por substituição trigonométrica.
Fazendo a substituição x = sec (u) → dx = tg (u).sec (u) du ( 0 < u < π/2 ) , daí;
Obs. 3 Não vou fazer a mudança dos integrantes não, pois podemos encontrar "um problemão", e irei deixar para substituir os integrantes ao final do cálculo
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{sec^2(u)-1}tg(u).sec(u) \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{tg^2(u)}tg(u).sec(u) \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}|tg(u)|.tg(u).sec(u) \ du=[/tex3]
Obs.4 | tg (u) | = tg (u), pois , tg (u) > 0 ( 0 < u < π/2 )
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}tg^2(u).sec (u) \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits sec (u).[ sec^2 (u)-1] \ du=\int\limits_{}^{}sec^3(u)du-\int\limits_{}^{}sec(u)du=[/tex3]
Obs.5 Para a primeira integral basta usar a fórmula de recorrência: [tex3]\int\limits_{}^{}sec^n(x)dx=\frac{sec^{n-2}(x).tg (x)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\limits_{}^{}sec^{n-2}(x)dx[/tex3] .
Dito isso , resulta que;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}+\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}sec (u)du[/tex3]
Obs.6 Com relação a integral de sec(u) , já sabemos o seu resultado, pois trata-se de uma integral "imediata" e tem como resultado ln | sec (u) + tg (u) |.
Logo;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}+\frac{1}{2}.ln|sec (u)+tg (u)|[/tex3]
Então;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du-\int\limits_{}^{}sec(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}+\frac{1}{2}.ln|sec (u)+tg (u)| - ln|sec (u)+tg (u)|[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3(u)du-\int\limits_{}^{}sec(u)du=\frac{sec (u).tg (u)}{2}-\frac{1}{2}.ln|sec (u)+tg (u)|( IV)[/tex3]
Obs.6 Note que ;
x = sec (u) → sec²(u) - 1 = tg ^2 (u) → x² - 1 = tg² (u)
Como sec (u) , tg (u) > 0 , tg (u) = √( x² - 1 ), fica;
Substituindo esses dados da Obs.6 em ( IV ), vem;
[tex3]=\frac{x.\sqrt{x^2-1}}{2}-\frac{1}{2}.ln[x+\sqrt{x^2-1}](V)[/tex3]
Juntando ( I I I ) e ( V ) , fica;
[tex3]A=[\frac{x.\sqrt{x^2-1}}{2}-\frac{1}{2}.ln(x+\sqrt{x^2-1})+2x-x^2]_{1}^{\frac{5}{3}}[/tex3]
[tex3]A=\frac{5\sqrt{\frac{25-9}{9}}}{6}-\frac{1}{2}ln\left(\frac{5}{3}+\sqrt{\frac{25-9}{9}}\right)+2.\frac{5}{3}-\frac{25}{9}-0+0-2.1+1²[/tex3]
[tex3]A=\frac{\frac{5.4}{3}}{6}-\frac{1}{2}.ln\left(\frac{5}{3}+\frac{4}{3}\right)+\frac{10}{3}-\frac{25}{9}-1[/tex3] [tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]A=\frac{12-9ln(3)}{18}[/tex3]
Portanto, a área procurada é [tex3]\frac{4-3ln(3)}{6}[/tex3] .
Bons estudos!
Só uma correção :
2x + y ≤ 2 → y = 2 - 2x ( I I ) ( reta passando pelo 1° , 2° e 4° quadrantes )
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