Ensino Superior ⇒ Parametrização de uma superfície de revolução Tópico resolvido

[engigor]

Olá!
Cheguei a esse problema do Guidorizzi vol. 3 e empaquei. Entendi como a superfície fica e entendi os limites dos parâmetros. Estou com dificuldade em achar as equações paramétricas. Não tô enxergando alguma relação trigonométrica ou algo do tipo. Imagino que seja bobo mas eu tentei bastante e não consegui avançar. Se alguém puder iluminar minha cabeça com uma ideia, ficaria agradecido.

Seja [tex3]A=[(0,y,x)\in \mathbb{R}^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=[(0,y,x)\in \mathbb{R}^3[/tex3]

tal que [tex3]z^2+(y-2)^2=1[/tex3]

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[tex3]z^2+(y-2)^2=1[/tex3]

e seja [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

o conjunto do espaço obtido pela rotação em torno do eixo z do conjunto [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

. Determine uma parametrização para [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

Sugestão: Parametrize [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

utilizando os parâmetros [tex3]u[/tex3]

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[tex3]u[/tex3]

e [tex3]v[/tex3]

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[tex3]v[/tex3]

conforme a figura seguinte.

Resposta

---

[tex3]x=(2+cosv)cosu, y=(2+cosv)senu, z=senv[/tex3]

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[tex3]x=(2+cosv)cosu, y=(2+cosv)senu, z=senv[/tex3]

[tex3]0\leq u\leq 2\pi [/tex3]

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[tex3]0\leq u\leq 2\pi [/tex3]

[tex3]0\leq v\leq 2\pi [/tex3]

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[tex3]0\leq v\leq 2\pi [/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Como a questão trata de uma revolução de superfície, vamos "buscar" a fórmula que nos dá essa parametrização. Dada uma parametrização y = y( v ) e z = z( v ) , de uma curva qualquer "C" , a superfície de revolução em torno do eixo "z" tem parametrização [tex3]\phi (v,u)[/tex3]

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[tex3]\phi (v,u)[/tex3]

tal que:

[tex3]\phi (v,u)=(y(v).cos(u) , y(v).sen(u),z(v))[/tex3]

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[tex3]\phi (v,u)=(y(v).cos(u) , y(v).sen(u),z(v))[/tex3]

com , 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 2π ( ambos volta completa ).

Dito isso , temos que;

( y - 2 )^2 + z² = 1 ( I )

Comparando ( I ) com a equação cos² ( v ) + sen² ( v ) = 1, vem;

y - 2 = cos ( v ) → y = 2 + cos ( v ) ou y( v ) = 2 + cos ( v ) ( I I )

Ainda;

z = sen ( v ) → z( v ) = sen ( v ) ( I I I )


Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em [tex3]\phi (v,u)=(y(v).cos(u) , y(v).sen(u),z(v))[/tex3]

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[tex3]\phi (v,u)=(y(v).cos(u) , y(v).sen(u),z(v))[/tex3]

, fica;

[tex3]\phi (v,u)=(( 2 + cos (v)).cos(u) , (2+cos (v)).sen(u),sen (v))[/tex3]

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[tex3]\phi (v,u)=(( 2 + cos (v)).cos(u) , (2+cos (v)).sen(u),sen (v))[/tex3]

Portanto,

x = ( 2 + cos ( v ) ).cos( u ) , y = ( 2 + cos ( v ) ).sen( u ) e z = sen (v) com 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 2π.


Bons estudos!