Ensino Superior ⇒ Maximização de lucro com matriz hessiana Tópico resolvido

[Aprendedor]

Um fabricante com direitos de exclusividade em relação a um novo e sofisticado modelo de máquina industrial pretende vender um número limitado das máquinas no mercado interno e no mercado externo. O preço de mercado das máquinas depende do número de máquinas fabricadas. (Se um número pequeno de máquinas for colocado à venda, a competição entre os possíveis compradores fará o preço subir). Estima- se que, se o fabricante colocar à venda x máquinas no mercado interno e y máquinas no mercado externo, as máquinas serão vendidas por

[tex3]60 - \frac{x}{5} + \frac{y}{20}[/tex3]

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[tex3]60 - \frac{x}{5} + \frac{y}{20}[/tex3]

milhares de reais no mercado interno e pelo equivalente a

[tex3]50 - \frac{y}{10} + \frac{x}{20}[/tex3]

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[tex3]50 - \frac{y}{10} + \frac{x}{20}[/tex3]

milhares de reais no mercado externo. Se o custo unitário da fabricação de máquinas é de R$ 10.000,00, qual deve ser o número de máquinas colocadas à venda no mercado interno e no mercado externo para que o lucro seja o maior possível?

Resposta

---

x = 200 e y = 300.

[PedroCunha]

Boa noite!

O lucro, representado por [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

, será dado por:

[tex3]

\pi = x \cdot \left( 60 - \frac{x}{5} + \frac{y}{20} \right) + y \cdot \left( 50 - \frac{y}{10} + \frac{x}{20} \right) - 10 \cdot (x+y) \therefore \\\\ \pi = 60x - \frac{x^2}{5} + \frac{xy}{20} + 50y - \frac{y^2}{10} + \frac{xy}{20} - 10x - 10y \therefore \\\\ \pi = 50x + 40y - \frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{10} + \frac{xy}{10}

[/tex3]

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[tex3]

\pi = x \cdot \left( 60 - \frac{x}{5} + \frac{y}{20} \right) + y \cdot \left( 50 - \frac{y}{10} + \frac{x}{20} \right) - 10 \cdot (x+y) \therefore \\\\ \pi = 60x - \frac{x^2}{5} + \frac{xy}{20} + 50y - \frac{y^2}{10} + \frac{xy}{20} - 10x - 10y \therefore \\\\ \pi = 50x + 40y - \frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{10} + \frac{xy}{10}

[/tex3]

*Utilizei 10 para o custo unitário das máquinas pois os preços estão em milhares de reais*

As condições de primeira ordem são:

[tex3]

\bullet \,\,\frac{\partial \, \pi}{\partial \, x} = \pi_1 = 0 \therefore 50 - \frac{2x}{5} + \frac{y}{10} = 0 \therefore 500 - 4x + y = 0 \therefore y = 4x - 500 \dots (I) \\\\ \bullet \frac{\partial \pi}{\partial y} = \pi_2 = 0 \therefore 40 - \frac{y}{5} + \frac{x}{10} = 0 \therefore 400 - 2y + x = 0 \therefore x =2y - 400 \dots (II)

[/tex3]

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[tex3]

\bullet \,\,\frac{\partial \, \pi}{\partial \, x} = \pi_1 = 0 \therefore 50 - \frac{2x}{5} + \frac{y}{10} = 0 \therefore 500 - 4x + y = 0 \therefore y = 4x - 500 \dots (I) \\\\ \bullet \frac{\partial \pi}{\partial y} = \pi_2 = 0 \therefore 40 - \frac{y}{5} + \frac{x}{10} = 0 \therefore 400 - 2y + x = 0 \therefore x =2y - 400 \dots (II)

[/tex3]

Substituindo (II) em (I):

[tex3]

y = 4 \cdot (2y-400) - 500 \therefore y = 8y - 2100 \rightarrow \boxed{\boxed{ y = 300, x = 200 }}

[/tex3]

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[tex3]

y = 4 \cdot (2y-400) - 500 \therefore y = 8y - 2100 \rightarrow \boxed{\boxed{ y = 300, x = 200 }}

[/tex3]

As condições de segunda ordem são verificadas utilizando o seguinte hessiano:

[tex3]

\mathbb{H} = \begin{pmatrix} \pi_{11} & \pi_{12} \\ \pi_{21} & \pi_{22} \end{pmatrix}

[/tex3]

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[tex3]

\mathbb{H} = \begin{pmatrix} \pi_{11} & \pi_{12} \\ \pi_{21} & \pi_{22} \end{pmatrix}

[/tex3]

onde:

[tex3]

\bullet \pi_{11} = \frac{\partial \pi_1}{\partial x} = -\frac{2}{5} \\\\
\bullet \pi_{12} = \frac{\partial \pi_1}{\partial y} = \frac{1}{10} \\\\
\bullet \pi_{21} = \frac{\partial \pi_2}{\partial x} = \frac{1}{10} \\\\
\bullet \pi_{22} = \frac{\partial \pi_2}{\partial y} = -\frac{1}{5}

[/tex3]

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[tex3]

\bullet \pi_{11} = \frac{\partial \pi_1}{\partial x} = -\frac{2}{5} \\\\
\bullet \pi_{12} = \frac{\partial \pi_1}{\partial y} = \frac{1}{10} \\\\
\bullet \pi_{21} = \frac{\partial \pi_2}{\partial x} = \frac{1}{10} \\\\
\bullet \pi_{22} = \frac{\partial \pi_2}{\partial y} = -\frac{1}{5}

[/tex3]

Para que a função lucro seja côncava e portanto, para que tenha um ponto de máximo, devemos ter [tex3]\pi_{11} < 0 \,\, \text{ & } \left|\mathbb{H} \right| > 0 [/tex3]

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[tex3]\pi_{11} < 0 \,\, \text{ & } \left|\mathbb{H} \right| > 0 [/tex3]

. Como [tex3]\pi_{11} = -\frac{2}{5} < 0 [/tex3]

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[tex3]\pi_{11} = -\frac{2}{5} < 0 [/tex3]

, basta verificarmos o sinal do determinante da matriz hessiana:

[tex3]

|\mathbb{H}| = -\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \therefore |\mathbb{H}| = \frac{2}{25} - \frac{1}{100} = \frac{7}{100} > 0

[/tex3]

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[tex3]

|\mathbb{H}| = -\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \therefore |\mathbb{H}| = \frac{2}{25} - \frac{1}{100} = \frac{7}{100} > 0

[/tex3]

Logo os valores ótimos encontrados caracterizam, de fato, um ponto de máximo lucro.

Qualquer dúvida não hesite em perguntar.

Abraços,
Pedro.

[Aprendedor]

Consegui identificar o meu erro. Muito obrigado pela ajuda, Pedro!