Ensino Superior ⇒ Integral por frações parciais Tópico resolvido

[Adonai]

(a) [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^{4}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^{4}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}dx[/tex3]

(b) [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x^{2}+5x+4}{x^{3}+x^{2}+x-3}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x^{2}+5x+4}{x^{3}+x^{2}+x-3}dx[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Como são duas questões irei resolver somente uma , seguindo a ordem letra a).


a) [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^{4}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^{4}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}dx[/tex3]

Analisando as funções ( numerador e denominador ) vemos que ambas tem um fator em comum que é ( x + 1 ) , ou seja , - 1 é raiz das mesmas, usando o dispositivo de Briot-Ruffini podemos "baixar" o grau de ambas funções ( ficará como exercício para você ), resultando em;

[tex3]\frac{x^3-x^2+x+1}{x^2-2x}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^3-x^2+x+1}{x^2-2x}[/tex3]

Note que o grau do numerador é maior que o do denominador. Então, devemos primeiro "extrair os inteiros".

x³ - x² + x + 1 |__x² - 2x__

Efetuando essa divisão ( ficará como exercício para você ) , resulta que;

x³ - x² + x + 1 = (x² - 2x).( x + 1 ) + 3x + 1

Ou melhor;

[tex3]\frac{x^3-x^2+x+1}{x^2-2x}=x+1+\frac{3x+1}{x^2-2x}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^3-x^2+x+1}{x^2-2x}=x+1+\frac{3x+1}{x^2-2x}[/tex3]

Temos;

[tex3]\frac{3x+1}{x^2-2x}=\frac{3x+1}{x.(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+Bx}{x.(x-2)}[/tex3]

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[tex3]\frac{3x+1}{x^2-2x}=\frac{3x+1}{x.(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+Bx}{x.(x-2)}[/tex3]

[tex3]\frac{3.x+1}{x.(x-2)}=\frac{(A+B).x-2A}{x.(x-2)}[/tex3]

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[tex3]\frac{3.x+1}{x.(x-2)}=\frac{(A+B).x-2A}{x.(x-2)}[/tex3]

Comparando os termos, temos o seguinte sistema

[tex3]\begin{cases}
A+B=3 →B=\frac{7}{2}\\
-2A=1→A=-\frac{1}{2}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
A+B=3 →B=\frac{7}{2}\\
-2A=1→A=-\frac{1}{2}
\end{cases}[/tex3]

Assim

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^3-x^2+x+1}{x^2-2x}dx=\int\limits_{}^{}(x+1)dx+\int\limits_{}^{}\frac{A}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{B}{x-2}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^3-x^2+x+1}{x^2-2x}dx=\int\limits_{}^{}(x+1)dx+\int\limits_{}^{}\frac{A}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{B}{x-2}dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}(x+1)dx+\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{2}}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{7}{2}}{x-2}dx=[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}(x+1)dx+\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{2}}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{7}{2}}{x-2}dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}(x+1)dx-\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx+\frac{7}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-2}dx=[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}(x+1)dx-\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx+\frac{7}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-2}dx=[/tex3]

Logo,

[tex3]=\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{2}ln|x|+\frac
{7}{2}ln|x-2|+C[/tex3]

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[tex3]=\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{2}ln|x|+\frac
{7}{2}ln|x-2|+C[/tex3]

Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^{4}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}dx=\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{2}ln|x|+\frac{7}{2}ln|x-2|+C[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^{4}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}dx=\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{2}ln|x|+\frac{7}{2}ln|x-2|+C[/tex3]

Ou

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^{4}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}dx=\frac{1}{2}.(x^2+2x-ln|x|+7ln|x-2|)+C[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^{4}+2x+1}{x^{3}-x^{2}-2x}dx=\frac{1}{2}.(x^2+2x-ln|x|+7ln|x-2|)+C[/tex3]

Nota

É óbvio que existem outras formas de representar essa mesma resposta!



Bons estudos!