Ensino Superior ⇒ derivada de função trigonométrica utilizando a definição Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2019
04
00:28
derivada de função trigonométrica utilizando a definição
f(x) = sen(x)
eu tenho muita dificuldade em fazer derivada pela definição dessas funções trigonométricas, alguém poderia me explicar essa para eu me situar melhor.
eu tenho muita dificuldade em fazer derivada pela definição dessas funções trigonométricas, alguém poderia me explicar essa para eu me situar melhor.
Mai 2019
04
00:52
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
Olá thetruth,
Inicialmente, vamos nos atentar a definição de derivada:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]
Desse modo, é válido fazer que:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x+h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
Colocando [tex3]\sen (x)[/tex3] em evidência:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Podemos separar em:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Multiplicando a primeira fração por [tex3][\cos (h)+1][/tex3] :
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} \cdot \frac{[\cos (h)+1]}{[\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \overbrace{[\cos (h)^2 -1^2]}^{-\sen^2 (h)}}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen^2 (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Expandindo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen (h) \cdot \sen (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Quando [tex3]h[/tex3] tende a [tex3]0[/tex3] , então:
[tex3]\frac{\sen (h)}{h}=1[/tex3]
[tex3]\sen (h)=0[/tex3]
[tex3]\cos (h)=1[/tex3]
Logo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot \cancelto0{\sen (h)}}{[\cancelto1{\cos (h)}+1]} \cdot \cancelto1{\frac{\sen (h)}{h}}+ \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \cos (x) \cdot \cancelto1{\frac{ \sen (h) }{h}}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\boxed{f(x)'=\cos(x)}[/tex3]
Inicialmente, vamos nos atentar a definição de derivada:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]
Desse modo, é válido fazer que:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x+h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
Colocando [tex3]\sen (x)[/tex3] em evidência:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Podemos separar em:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Multiplicando a primeira fração por [tex3][\cos (h)+1][/tex3] :
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} \cdot \frac{[\cos (h)+1]}{[\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \overbrace{[\cos (h)^2 -1^2]}^{-\sen^2 (h)}}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen^2 (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Expandindo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen (h) \cdot \sen (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Quando [tex3]h[/tex3] tende a [tex3]0[/tex3] , então:
[tex3]\frac{\sen (h)}{h}=1[/tex3]
[tex3]\sen (h)=0[/tex3]
[tex3]\cos (h)=1[/tex3]
Logo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot \cancelto0{\sen (h)}}{[\cancelto1{\cos (h)}+1]} \cdot \cancelto1{\frac{\sen (h)}{h}}+ \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \cos (x) \cdot \cancelto1{\frac{ \sen (h) }{h}}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\boxed{f(x)'=\cos(x)}[/tex3]
Mai 2019
04
01:00
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
Planck escreveu: ↑Sáb 04 Mai, 2019 00:52Olá thetruth,
Inicialmente, vamos nos atentar a definição de derivada:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]
Desse modo, é válido fazer que:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x+h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
Colocando [tex3]\sen (x)[/tex3] em evidência:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Podemos separar em:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Multiplicando a primeira fração por [tex3][\cos (h)+1][/tex3] :
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} \cdot \frac{[\cos (h)+1]}{[\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \overbrace{[\cos (h)^2 -1^2]}^{-\sen^2 (h)}}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen^2 (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Expandindo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen (h) \cdot \sen (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Quando [tex3]h[/tex3] tende a [tex3]0[/tex3] , então:
[tex3]\frac{\sen (h)}{h}=1[/tex3]
[tex3]\sen (h)=0[/tex3]
[tex3]\cos (h)=1[/tex3]
Logo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot \cancelto0{\sen (h)}}{[\cancelto1{\cos (h)}+1]} \cdot \cancelto1{\frac{\sen (h)}{h}}+ \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \cos (x) \cdot \cancelto1{\frac{ \sen (h) }{h}}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\boxed{f(x)'=\cos(x)}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
esse -1 é porcausa daquele -sen(x) certo?
Última edição: thetruth (Sáb 04 Mai, 2019 01:03). Total de 2 vezes.
Mai 2019
04
01:07
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
Foi porque coloquei o [tex3]\sen (x) [/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
É igual a:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) -\sen(x)+ \cos (x) \cdot \sen (h)}{h}[/tex3]
Nesse ponto, coloquei o [tex3]\sen(x)[/tex3] em evidência.
em evidência, note que:[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
É igual a:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) -\sen(x)+ \cos (x) \cdot \sen (h)}{h}[/tex3]
Nesse ponto, coloquei o [tex3]\sen(x)[/tex3] em evidência.
Mai 2019
04
01:08
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
sim, sim.Planck escreveu: ↑Sáb 04 Mai, 2019 01:07Foi porque coloquei o [tex3]\sen (x) [/tex3] em evidência, note que:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
É igual a:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) -\sen(x)+ \cos (x) \cdot \sen (h)}{h}[/tex3]
Nesse ponto, coloquei o [tex3]\sen(x)[/tex3] em evidência.
Mai 2019
04
01:10
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
O que pega nesses cálculos é lembrar dos limites e da relações trigonométricas. Além de uma boa dose de álgebra.
Última edição: Planck (Sáb 04 Mai, 2019 01:11). Total de 1 vez.
Mai 2019
04
01:11
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
o que me quebrou nessa questão foi não sacar o [tex3]sen^{2}(x)[/tex3]
Última edição: thetruth (Sáb 04 Mai, 2019 01:12). Total de 1 vez.
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