f(x) = sen(x)
eu tenho muita dificuldade em fazer derivada pela definição dessas funções trigonométricas, alguém poderia me explicar essa para eu me situar melhor.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ derivada de função trigonométrica utilizando a definição Tópico resolvido
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Planck
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Mai 2019
04
00:52
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
Olá thetruth,
Inicialmente, vamos nos atentar a definição de derivada:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]
Desse modo, é válido fazer que:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x+h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
Colocando [tex3]\sen (x)[/tex3] em evidência:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Podemos separar em:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Multiplicando a primeira fração por [tex3][\cos (h)+1][/tex3] :
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} \cdot \frac{[\cos (h)+1]}{[\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \overbrace{[\cos (h)^2 -1^2]}^{-\sen^2 (h)}}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen^2 (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Expandindo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen (h) \cdot \sen (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Quando [tex3]h[/tex3] tende a [tex3]0[/tex3] , então:
[tex3]\frac{\sen (h)}{h}=1[/tex3]
[tex3]\sen (h)=0[/tex3]
[tex3]\cos (h)=1[/tex3]
Logo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot \cancelto0{\sen (h)}}{[\cancelto1{\cos (h)}+1]} \cdot \cancelto1{\frac{\sen (h)}{h}}+ \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \cos (x) \cdot \cancelto1{\frac{ \sen (h) }{h}}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\boxed{f(x)'=\cos(x)}[/tex3]
Inicialmente, vamos nos atentar a definição de derivada:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]
Desse modo, é válido fazer que:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x+h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
Colocando [tex3]\sen (x)[/tex3] em evidência:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Podemos separar em:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Multiplicando a primeira fração por [tex3][\cos (h)+1][/tex3] :
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} \cdot \frac{[\cos (h)+1]}{[\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \overbrace{[\cos (h)^2 -1^2]}^{-\sen^2 (h)}}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen^2 (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Expandindo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen (h) \cdot \sen (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Quando [tex3]h[/tex3] tende a [tex3]0[/tex3] , então:
[tex3]\frac{\sen (h)}{h}=1[/tex3]
[tex3]\sen (h)=0[/tex3]
[tex3]\cos (h)=1[/tex3]
Logo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot \cancelto0{\sen (h)}}{[\cancelto1{\cos (h)}+1]} \cdot \cancelto1{\frac{\sen (h)}{h}}+ \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \cos (x) \cdot \cancelto1{\frac{ \sen (h) }{h}}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\boxed{f(x)'=\cos(x)}[/tex3]
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thetruth
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Mai 2019
04
01:00
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
Planck escreveu: ↑04 Mai 2019, 00:52 Olá thetruth,
Inicialmente, vamos nos atentar a definição de derivada:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]
Desse modo, é válido fazer que:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x+h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
Colocando [tex3]\sen (x)[/tex3] em evidência:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Podemos separar em:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Multiplicando a primeira fração por [tex3][\cos (h)+1][/tex3] :
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} \cdot \frac{[\cos (h)+1]}{[\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \overbrace{[\cos (h)^2 -1^2]}^{-\sen^2 (h)}}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen^2 (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Expandindo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen (h) \cdot \sen (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
Quando [tex3]h[/tex3] tende a [tex3]0[/tex3] , então:
[tex3]\frac{\sen (h)}{h}=1[/tex3]
[tex3]\sen (h)=0[/tex3]
[tex3]\cos (h)=1[/tex3]
Logo:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot \cancelto0{\sen (h)}}{[\cancelto1{\cos (h)}+1]} \cdot \cancelto1{\frac{\sen (h)}{h}}+ \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \cos (x) \cdot \cancelto1{\frac{ \sen (h) }{h}}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\boxed{f(x)'=\cos(x)}[/tex3]
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]
esse -1 é porcausa daquele -sen(x) certo?
Editado pela última vez por thetruth em 04 Mai 2019, 01:03, em um total de 2 vezes.
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Planck
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Mai 2019
04
01:07
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
Foi porque coloquei o [tex3]\sen (x) [/tex3]
em evidência, note que:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
É igual a:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) -\sen(x)+ \cos (x) \cdot \sen (h)}{h}[/tex3]
Nesse ponto, coloquei o [tex3]\sen(x)[/tex3] em evidência.
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
É igual a:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) -\sen(x)+ \cos (x) \cdot \sen (h)}{h}[/tex3]
Nesse ponto, coloquei o [tex3]\sen(x)[/tex3] em evidência.
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thetruth
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Mai 2019
04
01:08
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
sim, sim.Planck escreveu: ↑04 Mai 2019, 01:07 Foi porque coloquei o [tex3]\sen (x) [/tex3] em evidência, note que:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]
É igual a:
[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) -\sen(x)+ \cos (x) \cdot \sen (h)}{h}[/tex3]
Nesse ponto, coloquei o [tex3]\sen(x)[/tex3] em evidência.
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Planck
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Mai 2019
04
01:10
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
O que pega nesses cálculos é lembrar dos limites e da relações trigonométricas. Além de uma boa dose de álgebra. 
Editado pela última vez por Planck em 04 Mai 2019, 01:11, em um total de 1 vez.
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thetruth
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Mai 2019
04
01:11
Re: derivada de função trigonométrica utilizando a definição
o que me quebrou nessa questão foi não sacar o [tex3]sen^{2}(x)[/tex3]
Editado pela última vez por thetruth em 04 Mai 2019, 01:12, em um total de 1 vez.
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