Ensino Superior ⇒ Cálculo 3 - LA PLACE Tópico resolvido

[Ekel]

Calcule o problema usando transformada de La place

y" - 2y' + y = t(e^t) + 4 ; PVi= y(0)=1, y'(0)=1

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]L\{y''\}-2L\{y'\}+L\{y\}=L\{te^t\}+L\{4\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L\{y''\}-2L\{y'\}+L\{y\}=L\{te^t\}+L\{4\}[/tex3]

[tex3]s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)-2[sY(s)-y(0)]=\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{4}{s}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)-2[sY(s)-y(0)]=\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{4}{s}[/tex3]

[tex3]s^{2}Y(s)-s-1-2sY(s)+2+Y(s)=\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{4}{s}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s^{2}Y(s)-s-1-2sY(s)+2+Y(s)=\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{4}{s}[/tex3]

[tex3]Y(s).(s^2-2s+1)=s-1+\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{4}{s}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y(s).(s^2-2s+1)=s-1+\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{4}{s}[/tex3]

[tex3]Y(s)=\frac{s-1}{s^2-2s+1}+\frac{1}{(s^2-2s+1)(s-1)^2}+\frac{4}{s(s^2-2s+1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y(s)=\frac{s-1}{s^2-2s+1}+\frac{1}{(s^2-2s+1)(s-1)^2}+\frac{4}{s(s^2-2s+1)}[/tex3]

[tex3]Y(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{(s^2-2s+1)(s-1)^2}+\frac{4}{s(s^2-2s+1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{(s^2-2s+1)(s-1)^2}+\frac{4}{s(s^2-2s+1)}[/tex3]

[tex3]Y(s)=\frac{s(s^2-2s+1)(s-1)+s+4(s-1)^2}{s(s^2-2s+1)(s-1)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y(s)=\frac{s(s^2-2s+1)(s-1)+s+4(s-1)^2}{s(s^2-2s+1)(s-1)^2}[/tex3]

Desenvolvendo, resulta em;

[tex3]Y(s)=\frac{s^4-3s^3+7s^2-8s+4}{s(s-1)^4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y(s)=\frac{s^4-3s^3+7s^2-8s+4}{s(s-1)^4}[/tex3]

Conseguimos isolar o Y( s ) , agora vamos usar frações parciais, para logo em seguida fazermos a transformata inversa de Laplace, temos;

[tex3]\frac{s^4-3s^3+7s^2-8s+4}{s(s-1)^4}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{(s-1)^2}+\frac{D}{(s-1)^3}+\frac{E}{(s-1)^4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{s^4-3s^3+7s^2-8s+4}{s(s-1)^4}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{(s-1)^2}+\frac{D}{(s-1)^3}+\frac{E}{(s-1)^4}[/tex3]

Resulta que os valores encontrados são: A = 4 , B = - 3 , C = 4 , D = 0 e E = 1, então;

[tex3]y(t)=4.L^{-1}\{\frac{1}{s}\}-3.L^{-1}\{\frac{1}{s-1}\}+4.L^{-1}\{\frac{1}{(s-1)^2}\}+L^{-1}\{\frac{1}{(s-1)^4}\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y(t)=4.L^{-1}\{\frac{1}{s}\}-3.L^{-1}\{\frac{1}{s-1}\}+4.L^{-1}\{\frac{1}{(s-1)^2}\}+L^{-1}\{\frac{1}{(s-1)^4}\}[/tex3]

[tex3]y(t)=4.1-3.e^{t}+4.te^t+\frac{t^3e^t}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y(t)=4.1-3.e^{t}+4.te^t+\frac{t^3e^t}{6}[/tex3]

Portanto, [tex3]y(t)=e^t\left(\frac{t^3}{6}+4t-3\right)+4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y(t)=e^t\left(\frac{t^3}{6}+4t-3\right)+4[/tex3]

Bons estudos!