Ensino Superior ⇒ Taxas de Variação Tópico resolvido

[pitbichapet]

Preciso de ajuda, não faço ideia como montar essa equação e desenvolvela”- com derivadas.

Areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de 10 m3/min no topo de um monte cônico circular reto (𝑉 = 𝜋𝑅2h/3). A altura do monte tem três oitavos do diâmetro da base. Pede-se calcular (indicando as unidades nas respostas), quando o monte tiver 4 metros de altura: (a) a taxa de variação do raio da base; (b) a taxa de variação da altura.
Respostas:
(a) 15/(32 π) m/min (b) 45/(128 π) m/min

Se alguem soube em qual livro tem exercícios similares como esse, agradeceria!

[joaopcarv]

O esquema desse tipo de exercício é relativamente simples, buscaremos vínculos entre as grandezas e derivaremos implicitamente, geralmente no tempo (taxas temporais).

No exercício:

[tex3]\mathsf{V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}}[/tex3]

, sendo [tex3]\mathsf{h \ = \ \dfrac{3}{8} \cdot 2\cdot R \ \rightarrow\ V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot \overbrace{h}^{\frac{3 \cdot R}{4}}}{3} \ \therefore \ V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^3}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{h \ = \ \dfrac{3}{8} \cdot 2\cdot R \ \rightarrow\ V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot \overbrace{h}^{\frac{3 \cdot R}{4}}}{3} \ \therefore \ V \ = \ \dfrac{\pi \cdot R^3}{4}}[/tex3]

Relacionando as taxas pelo vínculo:

[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt}\ = \ \dfrac{d \frac{\pi \cdot R^3(t)}{4}}{dt}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt}\ = \ \dfrac{d \frac{\pi \cdot R^3(t)}{4}}{dt}}[/tex3]

(Omitirei as unidades só para deixar mais legível)

[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot \dfrac{dR^3 (t)}{dt}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot \dfrac{dR^3 (t)}{dt}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3\cdot R^2(t) \cdot \dfrac{d R(t)}{dt}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3\cdot R^2(t) \cdot \dfrac{d R(t)}{dt}}[/tex3]

Considerando o instante de referência [tex3]\mathsf{t_0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{t_0}[/tex3]

, tem-se: [tex3]\mathsf{h(t_{0}) \ = \ \underbrace{4 \ m}_{= \frac{3 \cdot R(t_0)}{4}} \ \rightarrow \ R(t_{0}) \ = \ \dfrac{16}{3} \ m}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{h(t_{0}) \ = \ \underbrace{4 \ m}_{= \frac{3 \cdot R(t_0)}{4}} \ \rightarrow \ R(t_{0}) \ = \ \dfrac{16}{3} \ m}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3\cdot R^2(t_0) \cdot \dfrac{d R(t_0)}{dt}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\dfrac{dV(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3\cdot R^2(t_0) \cdot \dfrac{d R(t_0)}{dt}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{10 \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3 \cdot \dfrac{256}{9} \ \cdot \dfrac{d R(t_0)}{dt} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dR(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{15}{32 \cdot \pi} \ \dfrac{m}{min}}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{10 \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ \cdot 3 \cdot \dfrac{256}{9} \ \cdot \dfrac{d R(t_0)}{dt} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dR(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{15}{32 \cdot \pi} \ \dfrac{m}{min}}}}}[/tex3]

Pela relação entre altura e raio:

[tex3]\mathsf{h(t_0) \ = \ \dfrac{3\cdot \ R(t_0)}{4} \ \rightarrow \ \dfrac{dh(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{3}{4} \cdot \cancelto{\dfrac{15}{32 \cdot \pi}}{\dfrac{dR(t_0)}{dt}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{h(t_0) \ = \ \dfrac{3\cdot \ R(t_0)}{4} \ \rightarrow \ \dfrac{dh(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{3}{4} \cdot \cancelto{\dfrac{15}{32 \cdot \pi}}{\dfrac{dR(t_0)}{dt}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dh(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{45}{128 \cdot \pi} \ \dfrac{m}{min}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dh(t_0)}{dt} \ = \ \dfrac{45}{128 \cdot \pi} \ \dfrac{m}{min}}}}[/tex3]

[joaopcarv]

E sobre os exercícios, se quiser, eu posso te mandar os da lista que eu uso no cálculo 1

[pitbichapet]

E sobre os exercícios, se quiser, eu posso te mandar os da lista que eu uso no cálculo 1

Claro quero sim por favor, e se tiver também de otimização séria ótimo!