Ensino Superior ⇒ integral dupla Tópico resolvido

[CabeçãoMG]

A integral dupla [tex3]\int\limits_{0}^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{3}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{1}^{2}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{1}^{2}[/tex3]

[tex3]\frac{xy}{2+y²}[/tex3]

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[tex3]\frac{xy}{2+y²}[/tex3]

dy dx vale, aproximadamente:

a) 3,0
b) 0,0
c) 1,0
d) 1,6
e)-1,4

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{1}^{2}\frac{xy}{2+y²}dydx=[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{1}^{2}\frac{xy}{2+y²}dydx=[/tex3]

[tex3]x.\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{1}^{2}\frac{ydy}{2+y²}dx=[/tex3]

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[tex3]x.\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{1}^{2}\frac{ydy}{2+y²}dx=[/tex3]

Fazendo a substituição u = 2 + y² → du = 2ydy → ydy = [tex3]\frac{du}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{du}{2}[/tex3]

Por outro lado, devemos fazer a mudança dos integrantes, temos que:

y = 2 → u = 2 + y² → u = 2 + 2² → u = 6

e

y = 1 → u = 2 + y² → u = 2 + 1² → u = 3


[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
\left(\int\limits_{3}^{6}\frac{1}{u}du\right)dx=[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
\left(\int\limits_{3}^{6}\frac{1}{u}du\right)dx=[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
[ln|u|]_{3}^{6}dx=[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
[ln|u|]_{3}^{6}dx=[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
(ln|6|-ln|3|)dx=[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
(ln|6|-ln|3|)dx=[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
(ln\frac{6}{3})dx=[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
(ln\frac{6}{3})dx=[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
(ln2)dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{2}.\int\limits_{0}^{3}
(ln2)dx=[/tex3]

[tex3]\frac{ln(2)}{2}.\int\limits_{0}^{3}x \ dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ln(2)}{2}.\int\limits_{0}^{3}x \ dx=[/tex3]

[tex3]\frac{ln(2)}{2}.[\frac{x^2}{2}]_{0}^{3}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ln(2)}{2}.[\frac{x^2}{2}]_{0}^{3}=[/tex3]

[tex3]\frac{ln(2)}{4}.(3^2-0^2)=\frac{9.ln(2)}{4}=1,56≈1,6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ln(2)}{4}.(3^2-0^2)=\frac{9.ln(2)}{4}=1,56≈1,6[/tex3]

Portanto, [tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{1}^{2}\frac{xy}{2+y²}dydx=1,6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{1}^{2}\frac{xy}{2+y²}dydx=1,6[/tex3]

, alternativa d).




Bons estudos!