Calcule o limite de:
1) [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{x^4-5x^2+4}{x^3-4x}=[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Calculo Limites Tópico resolvido
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MateusQqMD 
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Abr 2019
13
19:32
Re: Calculo Limites
Oi, Marcos. Aqui uma ideia é fatorar o numerador e o denominador. É tranquilo de ver que [tex3]x = 1[/tex3]
é raiz de [tex3]p(x) = x^4-5x^2+4[/tex3]
, daí você vai aplicar Briot-Ruffini e descobrir as outras raízes. Depois disso, basta escrever [tex3]p(x)[/tex3]
na forma fatorada:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{x^4-5x^2+4}{x^3-4x}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{x(x^2-4)}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{ (x^2-1)(x^2-4)}{x(x^2-4)}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{ (x^2-1)\cancel{(x^2-4)}}{x\cancel{(x^2-4)}}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{ (x^2-1)}{x} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{x^4-5x^2+4}{x^3-4x}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{x(x^2-4)}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{ (x^2-1)(x^2-4)}{x(x^2-4)}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{ (x^2-1)\cancel{(x^2-4)}}{x\cancel{(x^2-4)}}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{ (x^2-1)}{x} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Abr 2019
13
19:52
Re: Calculo Limites
Não daria para usar o 2 [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }[/tex3]
(por causa que x tende a 2) no Briot-Ruffini ?
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MateusQqMD
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Abr 2019
13
21:02
Re: Calculo Limites
Pior que não, porque nós teríamos uma indeterminação
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 2 }\frac{ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{x(x^2-4)} = \frac{ (2-1)(2+1)(2-2)(2+2)}{2(2^2-4)} = \frac{0}{0} [/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Abr 2019
16
13:20
Re: Calculo Limites
Boa tarde, como você chegou na forma fatorada [tex3](x-1)(x+1)(x-2)(x+2) [/tex3]
apos aplicar o Briot Ruffini ?
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MateusQqMD
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Abr 2019
16
13:58
Re: Calculo Limites
Boa tarde, Marcos. Se [tex3]f(X) = a_nX^n + ... + a_1X + a_0[/tex3]
é um polinômio e [tex3]n \geq 1[/tex3]
, então, dado [tex3]\alpha_i[/tex3]
sendo raiz de [tex3]f(X)[/tex3]
, podemos escrever a expressão da forma fatorada de [tex3]f [/tex3]
:
Para o seu exercício, [tex3]f(X) = X^4-5X^2+4[/tex3] . É fácil ver que 1 é raiz, e aplicando Briot-Ruffini, temos que todas as raízes são, [tex3]x = -2[/tex3] , [tex3]x= -1[/tex3] , [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3]
Daí,
[tex3]f(X) = X^4-5X^2+4[/tex3]
[tex3]f(X) = 1\cdot( X - (-2) )(X - (-1)(X-1)(X-2)[/tex3]
[tex3]f(X) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)[/tex3]
[tex3]f(X) = a_n(X - \alpha_1) \cdot \, ... \, \cdot (X - \alpha_n)[/tex3]
Para o seu exercício, [tex3]f(X) = X^4-5X^2+4[/tex3] . É fácil ver que 1 é raiz, e aplicando Briot-Ruffini, temos que todas as raízes são, [tex3]x = -2[/tex3] , [tex3]x= -1[/tex3] , [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3]
Daí,
[tex3]f(X) = X^4-5X^2+4[/tex3]
[tex3]f(X) = 1\cdot( X - (-2) )(X - (-1)(X-1)(X-2)[/tex3]
[tex3]f(X) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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