Ensino Superior ⇒ Cartas em Urnas - Probabilidade Tópico resolvido

[magben]

A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A?

[guila100]

caixa A ( 2,4,6,8) (4/9) 4 cartas par de 9

Caixa B (2,4) 2/5 2 cartas par de 5

são 2 caixas a probabilidade sair A é 1/2

1/2.4/9 = 4/18 = 2/9

para sair par da caixa b
1/2 . 2/5 = 1/5

para sair par

2/9+1/5

19/45

ou seja a gente já sabe que é par

então

2/9 é os par da caixa A

e 19/45 é o total de pares então

[tex3]\frac{2/9}{19/45}\\\frac{2}{9}.\frac{45}{19}=\frac{10}{19}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2/9}{19/45}\\\frac{2}{9}.\frac{45}{19}=\frac{10}{19}[/tex3]

[csmarcelo]

Se sabemos que a carta é par, o nosso espaço amostral passa a ser as cartas pares.

Temos um total de 6 cartas pares e, dessas, 4 são da caixa A. Logo, a probabilidade da carta ser da caixa A é de [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

.

[NetoAmaral]

Primeiro foi escolhida uma caixa e depois foi retirada uma carta. Assim temos as seguintes possibilidades:
1ª. Escolha da caixa A e a carta retirada ser par.
(1/2) × (4/9) = 2/9
2ª. Escolha da caixa B e a carta retirada ser par.
(1/2) × (2/5) = 1/5
3ª. Escolha da caixa A e a carta retirada ser ímpar.
(1/2) × (5/9) = 5/18
4ª. Escolha da caixa B e a carta retirada ser ímpar.
(1/2) × (3/5) = 3/10
Note que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Portanto a probabilidade de se escolher a caixa A e dela se retirar uma carta par é de 2/9.

[csmarcelo]

Repare que a caixa A tem mais números pares que a caixa B. Com isso em mente, já se sabe que a probabilidade deve ser maior que 50%.

[NetoAmaral]

Perfeito professor!
Me confundi com o espaço amostral que deve ser das cartas pares apenas. Obrigado pela atenção

[petras]

csmarcelo,

Poderia verificar sua resolução. A resposta oficial seria 10/19
Não basta apenas a carta ser par ela precisa ser da caixa A. Da forma como resolveu, era com se tivesse apenas uma urna com 6 cartas pares e retirássemos 4 cartas pares específicas, o que eu penso ser diferente de primeiro levar em conta a probabilidade de escolhermos uma determinada urna e depois escolher determinado número de cartas dessa urna
Alternativas de resposta da prova:
a) 4/5
b)10/19
c)19/45
d)2/9
e)6/19

A resposta correta seria 10/19.

Segue duas resoluções encontradas

1) Probabilidade de sair par na urna A = (1/2)•(4/9) = 2/9
Probabilidade de sair par na urna B = (1/2)•(2/5) = 1/5
Probabilidade de sair número par = 2/9 + 1/5 = 19/45

Probabilidade de ser da urna [tex3]A = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{19}{45}} \rightarrow (2/9)•(45/19) = 10/19[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{19}{45}} \rightarrow (2/9)•(45/19) = 10/19[/tex3]

2) Na urna A vc tem 9 cartas, sendo 4 pares: A = {2, 4, 6, 8}, ser par: P = 4/9

Na urna B vc tem 5 cartas, sendo 2 pares: A = {2, 4}, ser par: P = 2/5

vc tem 2 urnas, então a probabilidade de escolher uma é 1/2.

espaço amostral:

P(ser par) = 1/2 * 4/9 ou 1/2 * 2/5
P(ser par) = 1/2 * 4/9 + 1/2 * 2/5
P(ser par) = 2/9 + 1/5
P(ser par) = (10 + 9)/45
P(ser par) = 19/45

P(ter saído da urna A e par) = 1/2 * 4/9 = 2/9

P(urna A | par) = P(ter saído da urna A | par)/P(ser par)
P(urna A | par) = ([tex3]\frac{\frac{2}{9}}{\frac{19}{45}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac{2}{9}}{\frac{19}{45}}[/tex3]

P(urna A | par) = 2/9 * 45/19
P(urna A | par) = 10/19