Ensino Superior ⇒ Limites laterais

[canguru]

Alguém pode me explicar como faz para resolver esse limite (sem o uso de derivadas)

f(x) = [tex3]\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}[/tex3]

; x->4

Resposta

---

resposta: -1/3

[jomatlove]

Olá!
Basta multiplicar o numerador pelo seu conjugado,assim como o denominador.
Tente,por favor!
Qualquer duvidar,é só falar!

---

[robmenas]

Olá,

basta multiplicar a função pelos "conjugados" do numerador e do denominador, ou seja, multiplicar por:

[tex3]\frac{1+\sqrt{5-x}}{1+\sqrt{5-x}}\cdot \frac{3+\sqrt{5+x}}{3+\sqrt{5+x}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1+\sqrt{5-x}}{1+\sqrt{5-x}}\cdot \frac{3+\sqrt{5+x}}{3+\sqrt{5+x}}[/tex3]

(observe que o valor da expressão acima é "1", ou seja, multiplicaremos a função por 1) para que possamos aplicar a produto notável [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]

Desenvolvendo...

[tex3]
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} & = &\lim_{x\to 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}\cdot\frac{1+\sqrt{5-x}}{1+\sqrt{5-x}}\cdot \frac{3+\sqrt{5+x}}{3+\sqrt{5+x}}\\ \\
& = & \lim_{x\to 4} \frac{(3-(\sqrt{5+x})^2)(1+\sqrt{5-x})}{(1-(\sqrt{5-x})^2)(3+\sqrt{5+x})}\\ \\
& = & \lim_{x\to 4} \frac{(9-(5+x))(1+\sqrt{5-x})}{(1-(5-x))(3+\sqrt{5+x})}\\ \\
& = & \lim_{x\to 4} \frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{(-4+x)(3+\sqrt{5+x})}\\ \\
& = & \lim_{x\to 4} \frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{(-1)(4-x)(3+\sqrt{5+x})}\\ \\
& = & (-1)\cdot\lim_{x\to 4} \frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}\\ \\
& = & (-1)\frac{1+\sqrt{1}}{3+\sqrt{9}}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} & = &\lim_{x\to 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}\cdot\frac{1+\sqrt{5-x}}{1+\sqrt{5-x}}\cdot \frac{3+\sqrt{5+x}}{3+\sqrt{5+x}}\\ \\
& = & \lim_{x\to 4} \frac{(3-(\sqrt{5+x})^2)(1+\sqrt{5-x})}{(1-(\sqrt{5-x})^2)(3+\sqrt{5+x})}\\ \\
& = & \lim_{x\to 4} \frac{(9-(5+x))(1+\sqrt{5-x})}{(1-(5-x))(3+\sqrt{5+x})}\\ \\
& = & \lim_{x\to 4} \frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{(-4+x)(3+\sqrt{5+x})}\\ \\
& = & \lim_{x\to 4} \frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{(-1)(4-x)(3+\sqrt{5+x})}\\ \\
& = & (-1)\cdot\lim_{x\to 4} \frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}\\ \\
& = & (-1)\frac{1+\sqrt{1}}{3+\sqrt{9}}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}
[/tex3]