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Calculo II Funções
Enviado: Qua 10 Abr, 2019 11:33
por CabeçãoMG
Em relação a função F(x,y) = x²+xy+y²+3x-3y+4, podemos afirmar que:
a) não possui pontos críticos
b) os seus valores máximo e mínimo locais são inversos
c) o seu valor máximo local é menor que 2
d) o seu valor mínimo local é menor que -4
e) apresenta em (-3,3), um ponto de sela.
Re: Calculo II Funções
Enviado: Qua 10 Abr, 2019 14:19
por Cardoso1979
Olá
CabeçãoMG, depois resolverei esta questão, bateria do celular está descarregando
Re: Calculo II Funções
Enviado: Ter 16 Abr, 2019 09:12
por CabeçãoMG
Tudo bem amigo, aguardo...
Re: Calculo II Funções
Enviado: Sex 19 Abr, 2019 00:02
por Cardoso1979
Observe
Solução:
F( x , y ) = x² + xy + y² + 3x - 3y + 4
Calculando as derivadas parciais, vem;
[tex3]\frac{\partial F}{\partial x}=2x+y+3[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=2[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial y}(2x+y+3)=1[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=1[/tex3]
Ainda;
[tex3]\frac{\partial F}{\partial y}=x+2y-3[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=2[/tex3]
e
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}(x+2y-3)=1[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=1[/tex3]
Então;
[tex3]\begin{cases}
\frac{\partial F}{\partial x}=0 \\
\frac{\partial F}{\partial y}=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y+3=0 \\
x+2y-3=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y=-3 \\
x+2y=3 \ ×(-2)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\cancel{2x}+y=-3 \ (I) \\
\cancel{-2x}-4y=-6
\end{cases}[/tex3]
----------------------------------
- 3y = - 9
y = 3
Substituindo y = 3 em ( I ) , fica;
2x + 3 = - 3 → 2x = - 6 → x = - 3
Assim, a função tem como ponto crítico o ponto ( - 3 , 3 ). Com esse resultado encontrado , já podemos descartar as alternativas a) , b) e e).
Vamos então calcular o determinante da matriz hessiana, temos:
[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x,y)\\
\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x,y) \\
\end{array} \right][/tex3]
[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
2 &&& 1\\
1 &&& 2\\
\end{array} \right]=4-1=3[/tex3]
Como H( - 3 , 3 ) = 3 > 0 e [tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(-3,3)=2>0[/tex3]
, então ( - 3 , 3 ) é um ponto de mínimo local de F, daí;
F( - 3 , 3 ) = ( - 3 )² + ( - 3 ).3 + 3² + 3.( - 3 ) - 3.3 + 4
F( - 3 , 3 ) = 9 - 9 + 9 - 9 - 9 + 4
F( - 3 , 3 ) = - 5 ( valor mínimo local de F )
Portanto, o seu valor mínimo local é menor que - 4 , alternativa d).
Bons estudos!