Ensino Superior ⇒ Calculo II Funções Tópico resolvido

[CabeçãoMG]

Em relação a função F(x,y) = x²+xy+y²+3x-3y+4, podemos afirmar que:

a) não possui pontos críticos
b) os seus valores máximo e mínimo locais são inversos
c) o seu valor máximo local é menor que 2
d) o seu valor mínimo local é menor que -4
e) apresenta em (-3,3), um ponto de sela.

[Cardoso1979]

Olá CabeçãoMG, depois resolverei esta questão, bateria do celular está descarregando

[CabeçãoMG]

Tudo bem amigo, aguardo...

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

F( x , y ) = x² + xy + y² + 3x - 3y + 4

Calculando as derivadas parciais, vem;

[tex3]\frac{\partial F}{\partial x}=2x+y+3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial F}{\partial x}=2x+y+3[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=2[/tex3]

e

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial y}(2x+y+3)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial y}(2x+y+3)=1[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=1[/tex3]

Ainda;

[tex3]\frac{\partial F}{\partial y}=x+2y-3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial F}{\partial y}=x+2y-3[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=2[/tex3]

e

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}(x+2y-3)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}(x+2y-3)=1[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=1[/tex3]

Então;

[tex3]\begin{cases}
\frac{\partial F}{\partial x}=0 \\
\frac{\partial F}{\partial y}=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y+3=0 \\
x+2y-3=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y=-3 \\
x+2y=3 \ ×(-2)
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
\frac{\partial F}{\partial x}=0 \\
\frac{\partial F}{\partial y}=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y+3=0 \\
x+2y-3=0
\end{cases}→\begin{cases}
2x+y=-3 \\
x+2y=3 \ ×(-2)
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\cancel{2x}+y=-3 \ (I) \\
\cancel{-2x}-4y=-6
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
\cancel{2x}+y=-3 \ (I) \\
\cancel{-2x}-4y=-6
\end{cases}[/tex3]

----------------------------------
- 3y = - 9

y = 3


Substituindo y = 3 em ( I ) , fica;

2x + 3 = - 3 → 2x = - 6 → x = - 3

Assim, a função tem como ponto crítico o ponto ( - 3 , 3 ). Com esse resultado encontrado , já podemos descartar as alternativas a) , b) e e).

Vamos então calcular o determinante da matriz hessiana, temos:

[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x,y)\\
\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x,y) \\
\end{array} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x,y)\\
\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(x,y) &&& \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x,y) \\
\end{array} \right][/tex3]

[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
2 &&& 1\\
1 &&& 2\\
\end{array} \right]=4-1=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]H(x,y)=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
2 &&& 1\\
1 &&& 2\\
\end{array} \right]=4-1=3[/tex3]

Como H( - 3 , 3 ) = 3 > 0 e [tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(-3,3)=2>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(-3,3)=2>0[/tex3]

, então ( - 3 , 3 ) é um ponto de mínimo local de F, daí;

F( - 3 , 3 ) = ( - 3 )² + ( - 3 ).3 + 3² + 3.( - 3 ) - 3.3 + 4

F( - 3 , 3 ) = 9 - 9 + 9 - 9 - 9 + 4

F( - 3 , 3 ) = - 5 ( valor mínimo local de F )

Portanto, o seu valor mínimo local é menor que - 4 , alternativa d).



Bons estudos!