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[Série] Calcular valor de série tendo outra como referência

Enviado: Seg 08 Abr, 2019 22:30
por robmenas
Olá. Estou tendo dificuldade de resolver a questão abaixo e gostaria de ajuda:

Sabe-se que [tex3]\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/tex3] , então [tex3]\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)^2}[/tex3] é igual a:
Resposta

Gabarito: [tex3]\pi^2/8[/tex3]

Re: [Série] Calcular valor de série tendo outra como referência

Enviado: Qua 10 Abr, 2019 15:19
por robmenas
Consegui resolver. Aí vai a resolução a quem possa interessar:

Expandido os somatórios,

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)²}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots[/tex3]

Substituindo [tex3]n[/tex3] por [tex3]n+1[/tex3] no segundo somatório:

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2(n+1)-1)²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)²}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{64}\cdots[/tex3]

Comparando os três somatórios, percebe-se que

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)²}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)²}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n²}[/tex3]

Desenvolvendo os cálculos...
[tex3]
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)²}+\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}-\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)²}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}
[/tex3]