Sabe-se que [tex3]\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/tex3] , então [tex3]\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)^2}[/tex3] é igual a:
Resposta
Gabarito: [tex3]\pi^2/8[/tex3]
Moderador: [ Moderadores TTB ]
robmenas escreveu: ↑Qua 10 Abr, 2019 15:19Consegui resolver. Aí vai a resolução a quem possa interessar:
Expandido os somatórios,
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots[/tex3]
Substituindo [tex3]n[/tex3] por [tex3]n+1[/tex3] no segundo somatório:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2(n+1)-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{64}\cdots[/tex3]
Comparando os três somatórios, percebe-se que
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n²}[/tex3]
Desenvolvendo os cálculos...
[tex3]
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}-\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}
[/tex3]