Ensino SuperiorFunção e Domínio da Função Tópico resolvido

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bahcristine
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Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por bahcristine »

Olá a todos, enquanto eu estava estudando me deparei com um problema e preciso de uma ajuda bem detalhada, segue abaixo:

Problema: O proprietário de uma fazeda possui 6.000 metros de arame, com os quais deseja cercar um pasto retangular localizado em um trecho a margem de um rio. Assim ele precisará certar três lados já que o quarto é a margem. Encontre uma função F na variável x que expresse a área do pasto se o proprietário usar todo o arame. Encontre também o domínio de x na função.

Agradeço desde já ^^
Resposta

Domínio da função: 0 [tex3]\leq [/tex3] x [tex3]\leq [/tex3] 1500 | x[tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3]
Função da Área: f(x)= -2x²+6000x

Última edição: caju (Dom 31 Mar, 2019 22:38). Total de 1 vez.
Razão: arrumar título.



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Planck
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Re: Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por Planck »

Olá bahcristine,

Inicialmente, vamos montar um sistema com os lados que serão cercados, relacionando-os com a quantidade de arame [tex3](6000[m])[/tex3] e a área:

Os dois lados perpendiculares ao rio, foram nomeado por [tex3]x[/tex3] e o lado paralelo por [tex3]y.[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
6000=2\cdot x+y \\
Área= x \cdot y
\end{cases}[/tex3]

[tex3]y=6000-2\cdot x[/tex3]

Com isso, podemos encontrar a equação da área em função de [tex3]x:[/tex3]

[tex3]Área= x \cdot y[/tex3]

[tex3]Área= x \cdot (6000-2\cdot x)[/tex3]

[tex3]Área= -2\cdot x^2+6000 \cdot x[/tex3]

Ou:

[tex3]\boxed{f(x) -2\cdot x^2+6000 \cdot x}[/tex3]

Para encontrar o domínio de [tex3]x[/tex3] , podemos considerar que os valores de [tex3]x[/tex3] estarão entre o mínimo valor possível e o máximo valor possível. O mínimo valor possível é [tex3]0[/tex3] e o máximo pode ser encontrado pelo [tex3]x_v[/tex3] da função:

[tex3]x_v= \frac{-b}{2\cdot a}[/tex3]

[tex3]x_v= \frac{-(6000)}{2\cdot (-2)}=1500[m][/tex3]

Com isso, os valores aumentam até [tex3]1500[m][/tex3] e depois começam a decrescer. Nesse contexto, se o proprietário usar todo o arame, os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem o melhor aproveitamento da área está em:

[tex3]\boxed{Df(x)=\left \{ x \in \mathbb R |0\leq x\leq 1500 \right \}}[/tex3]




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Re: Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por bahcristine »

Agradeço a explicação de verdade, esse assunto de funções tem acabado comigo, mas como eu saberia quando aplicar essa fórmula [tex3]x_v= \frac{-b}{2\cdot a}[/tex3] ?



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Re: Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por Planck »

bahcristine escreveu:
Seg 01 Abr, 2019 01:59
Agradeço a explicação de verdade, esse assunto de funções tem acabado comigo, mas como eu saberia quando aplicar essa fórmula [tex3]x_v= \frac{-b}{2\cdot a}[/tex3] ?
Note que a função possui o coeficiente [tex3]a[/tex3] negativo, ou seja, concavidade voltada para baixo. Nesse sentido, a função terá um valor de [tex3]x[/tex3] para qual a área será máxima, ou seja, o vértice da parábola. Como foi pedido valores de [tex3]x[/tex3] , podemos calcular o valor no eixo [tex3]x[/tex3] que corresponde ao valor máximo de [tex3]y[/tex3] . Esses valores são o [tex3]x_v[/tex3] e [tex3]y_v[/tex3] .

Aprofundamento: https://www.google.com.br/amp/s/alunoso ... abola.html



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Re: Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por csmarcelo »

Porque não [tex3]D(f)=\{x\in\mathbb{R}\ |\ 0\leq x\leq 3000\}[/tex3] ? :roll:



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Re: Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por Planck »

csmarcelo escreveu:
Seg 01 Abr, 2019 07:00
Porque não [tex3]D(f)=\{x\in\mathbb{R}\ |\ 0\leq x\leq 3000\}[/tex3] ? :roll:
Eu também fiquei nessa dúvida. Acredito que o exercício queria o domínio que iria do menor para o máximo aproveitamento. No entanto, surge mais um problema, porque não:

[tex3]D(f)=\{x\in\mathbb{R}\ |\ 1500\leq x\leq 3000\}[/tex3]

Afinal, os valores seriam espelhados, só iria inverter a ordem, do maior para o menor aproveitamento. Se fosse uma questão de múltipla escolha, deveria especificar melhor ou não deixar dúvidas quanto às alternativas.



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Re: Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por csmarcelo »

Pois é. Eu só não afirmei que esse deveria ser o domínio porque talvez estivesse deixando passar algum detalhe. Se o domínio fosse o do gabarito, o fazendeiro não poderia construir, por exemplo, uma cerca cujos lados (todos os três) medem 2000 metros cada um.



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Re: Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por bahcristine »

csmarcelo escreveu:
Seg 01 Abr, 2019 07:22
Pois é. Eu só não afirmei que esse deveria ser o domínio porque talvez estivesse deixando passar algum detalhe. Se o domínio fosse o do gabarito, o fazendeiro não poderia construir, por exemplo, uma cerca cujos lados (todos os três) medem 2000 metros cada um.
Eu imagino que como o enunciado diz ser um pasto retangular colocar os 3 lados como 2000 metros faria do pasto um quadrado e assim cancelaria o enunciado.
Da mesma forma que x (um dos lados) poder chegar a 3 mil, se nesse caso convencionamos que ele é o lado que se repete 3000+3000 já daria a soma do arame total sem cobrir o lado y por exemplo. O que não me fazia sentido mesmo era como chegar aos 1500 :cry: Mas pela fórmula do vértice da parábola ajudou bastante :)



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csmarcelo
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Re: Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por csmarcelo »

bahcristine escreveu:
Seg 01 Abr, 2019 13:38
Eu imagino que como o enunciado diz ser um pasto retangular colocar os 3 lados como 2000 metros faria do pasto um quadrado e assim cancelaria o enunciado.
Por definição, todo quadrado é um retângulo, mas podemos pensar também em, por exemplo, [tex3]x=2500[/tex3] . É um valor totalmente válido. Teríamos dois lados medindo 2500 e um 1000.
Da mesma forma que x (um dos lados) poder chegar a 3 mil, se nesse caso convencionamos que ele é o lado que se repete 3000+3000 já daria a soma do arame total sem cobrir o lado y por exemplo.
Da mesma forma que [tex3]x[/tex3] não pode ser zero, concorda? Eu percebi isso também, mas achei "pouca coisa" perto dos 1500. Então, se fôssemos levar essa questão do zero em consideração, o domínio deveria ser [tex3]D(f)=\{x\in\mathbb{R}\ |\ 0<x<3000\}[/tex3] .



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Re: Função e Domínio da Função

Mensagem não lida por bahcristine »

csmarcelo escreveu:
Seg 01 Abr, 2019 13:47
bahcristine escreveu:
Seg 01 Abr, 2019 13:38
Eu imagino que como o enunciado diz ser um pasto retangular colocar os 3 lados como 2000 metros faria do pasto um quadrado e assim cancelaria o enunciado.
Por definição, todo quadrado é um retângulo, mas podemos pensar também em, por exemplo, [tex3]x=2500[/tex3] . É um valor totalmente válido. Teríamos dois lados medindo 2500 e um 1000.
Da mesma forma que x (um dos lados) poder chegar a 3 mil, se nesse caso convencionamos que ele é o lado que se repete 3000+3000 já daria a soma do arame total sem cobrir o lado y por exemplo.
Da mesma forma que [tex3]x[/tex3] não pode ser zero, concorda? Eu percebi isso também, mas achei "pouca coisa" perto dos 1500. Então, se fôssemos levar essa questão do zero em consideração, o domínio deveria ser [tex3]D(f)=\{x\in\mathbb{R}\ |\ 0<x<3000\}[/tex3] .
HAHAHA você está entrando no mesmo loop que eu estive durante essa última semana sobre esse exercício, tbm concordo que não faz sentido uma medida de pasto poder ser igual a zero e cheguei a pensar nesse 2500 tbm.




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