Ensino Superior ⇒ Teorema de Green Tópico resolvido

[MichelChagas]

Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo F(x,y) = (-3y⁵)i +(5y²x³)j para mover uma partícula ao longo da circunferência x² + y² = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez.

Resposta: 160 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]∮_{C}F .dr [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]∮_{C}F .dr [/tex3]

=

Como temos condições de aplicar o Teorema de Green , então apliquemos o Teorema de Green.

Obs1. Veja as condições em que devemos aplicar o teorema mencionado acima , pesquisando em livros, apostilas , internet, etc.

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\left(
{\frac{\partial Q}{\partial x}}-\frac{\partial P}{\partial x}\right)dxdy[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\left(
{\frac{\partial Q}{\partial x}}-\frac{\partial P}{\partial x}\right)dxdy[/tex3]

Onde, Q = 5y²x³ e P = - 3y [tex3]^{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]^{5}[/tex3]

.

Então,

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(15y^2x^2+15y^4)dxdy=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(15y^2x^2+15y^4)dxdy=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}(15y^2x^2+15y^4)dxdy=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}(15y^2x^2+15y^4)dxdy=[/tex3]

Obs2. A integral acima é muita trabalhosa de se resolver, então o melhor caminho é passar para coordenadas polares.

Temos que;

x = r.cosθ , y = r.senθ , dxdy = rdrdθ , 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ r ≤ 2 ( basta analisar a circunferência que você encontrará esses intervalos , não irei desenhar , pois estou dentro do expresso , mais fica como exercício para você ).

Assim,

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{2}[15r^5sen^2(\theta)cos^2(\theta ) +15r^5sen^4(\theta )]drd\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{2}[15r^5sen^2(\theta)cos^2(\theta ) +15r^5sen^4(\theta )]drd\theta =[/tex3]

Ou seja;

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{2}[15r^5sen^2(\theta)]drd\theta =160π[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{2}[15r^5sen^2(\theta)]drd\theta =160π[/tex3]

Bons estudos!

[MichelChagas]

Muito obrigado, amigo. Abração.

Deixo aqui os meus cálculos...

https://uploaddeimagens.com.br/imagens/ ... 12-15-jpeg

[Cardoso1979]

Muito obrigado, amigo. Abração.

Deixo aqui os meus cálculos...

https://[Utilize a ferramenta de imagens do fórum]/imagens/whatsapp_image_2019-03-26_at_18-12-15-jpeg

Disponha, está ótima a sua resolução , desse jeito aí mesmo