Ensino Superior

Sejam A, B, C, D pontos quaisquer, M o ponto médio de AC e N o de BD. Exprima X em função de MN, sendo x = AB + AD + CB + CD.

Resposta

X = 4MN

Observe

Solução:

Você pode aproveitar a figura abaixo, como base para o desenvolvimento desta questão.

: Screenshot_20190324-141552.jpeg (46.98 KiB) Exibido 1891 vezes

Pegando a primeira soma [tex3]\vec{AB}+\vec{AD}[/tex3] e vamos trabalhar com o [tex3]\vec{AB}[/tex3] , temos:

[tex3]\vec{AB}=\vec{AN}+\vec{NB} \ (I)[/tex3]

Agora façamos o "mesmo" [tex3]\vec{AD}[/tex3] :

[tex3]\vec{AD}=\vec{AN}+\vec{ND} \ (II)[/tex3]

Somando ( I ) e ( I I ) , vem;

[tex3]\vec{AB}+\vec{AD}=2\vec{AN}+(\vec{NB}+\vec{ND})[/tex3]

Observe a figura abaixo:

: download.jpeg (3.18 KiB) Exibido 1891 vezes

Analise bem na figura e você vai perceber isto:

[tex3]\vec{NB}+\vec{ND}=\vec{0}[/tex3]

Então,

[tex3]\vec{AB}+\vec{AD}=2\vec{AN}+(\vec{NB}+\vec{ND})[/tex3]

[tex3]\vec{AB}+\vec{AD}=2\vec{AN}+(\vec{0})[/tex3]

[tex3]\vec{AB}+\vec{AD}=2\vec{AN} \ (III)[/tex3]

Pegando agora a segunda soma [tex3]\vec{CB}+\vec{CD}[/tex3] , vem

[tex3]\vec{CB}=\vec{CN}+\vec{NB} \ (IV)[/tex3]

Agora o [tex3]\vec{CD}[/tex3] :

[tex3]\vec{CD}=\vec{CN}+\vec{ND} \ (V)[/tex3]

Somando ( IV ) e ( V ) , fica;

[tex3]\vec{CB}+\vec{CD}=2\vec{CN}+(\vec{NB}+\vec{ND})[/tex3]

Como visto acima, podemos concluir que a soma [tex3]\vec{NB}+\vec{ND} =\vec{0}[/tex3] , então ;

[tex3]\vec{CB}+\vec{CD}=2\vec{CN} \ ( VI )[/tex3]

Somando ( I I I ) e ( VI ), temos

[tex3]\vec{AB}+\vec{AD}=2\vec{AN}[/tex3]
[tex3]\vec{CB}+\vec{CD}=2\vec{CN}[/tex3]
-----------------------------------------------------------------------
[tex3]\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+
\vec{CD}=2\vec{AN}+2\vec{CN}[/tex3]

Ou seja,

[tex3]\vec{x}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+
\vec{CD}=2.(\vec{AN}+\vec{CN})[/tex3]

O vetor [tex3]\vec{MN}[/tex3] pode ser escrito destas duas maneiras:

[tex3]\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AN}[/tex3] e [tex3]\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}[/tex3] .

Somando as duas , vem;

[tex3]2.\vec{MN}=(\vec{MA}+\vec{MC})+\vec{AN}+\vec{CN}[/tex3]

Desenhando os vetores [tex3]\vec{MA}[/tex3] e [tex3]\vec{MC}[/tex3] , para que você ou outro usuário compreenda essa situação.

: download (1).jpeg (3.62 KiB) Exibido 1891 vezes

A soma [tex3]\vec{MA}+\vec{MC}=\vec{0}[/tex3] , já que esses vetores são opostos!

Daí,

[tex3]2.\vec{MN}=\vec{0}+\vec{AN}+\vec{CN}[/tex3]

[tex3]2.\vec{MN}=\vec{AN}+\vec{CN}[/tex3]

Substituindo essa expressão em [tex3]\vec{x}[/tex3] , vem;

[tex3]\vec{x}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+
\vec{CD}=2.(\vec{AN}+\vec{CN})=2.(2\vec{MN})=4.\vec{MN}[/tex3]

Portanto, [tex3]\vec{x}=4.\vec{MN}[/tex3] . C.q.e.

Bons estudos!

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