Boa Noite Pessoal, estou com uma dúvida nessa questão. Não consigo descobrir a area secção transversal quando o cilindro está deitado. Poderiam me ajudar ?
Enunciado:
O tanque da Figura é um cilindro de 4 m de raio e 15 m de
comprimento. Suponha que o tanque tenha água pela metade e que
a água esteja vazando por um buraco de área B = 0,001 m²
no fundo do tanque. Determine o nível d’água y(t) e o tempo que leva
para o tanque esvaziar.
Resposta: y= 8-(8 + 0,0002215t)^2/3 ( Provavelmente ele passou m para pés).
te=66000 s, ou 18h e 20 min.
Ensino Superior ⇒ Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2019
23
19:10
Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
- Anexos
-
- Imagem da Questão
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Mar 2019
24
12:54
Re: Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
Olá Luffy300,
Geometria Euclidiana
Note que:
[tex3]\overline{AD}=r=4[/tex3]
[tex3]\widehat{BD}=l[/tex3]
[tex3]\overline{CA}=4-y[/tex3]
Podemos fazer:
[tex3]\cos \alpha =\frac{4-y}{4}=1-\frac{y}{4}[/tex3]
Além disso:
[tex3]\widehat{BD}=l\rightarrow l=r\cdot \alpha [/tex3] [tex3]{\color{red}I)}[/tex3]
A área do setor circular definido por [tex3]BDA[/tex3] sera:
[tex3]S_{cc}=\frac{r\cdot l}{2}[/tex3] [tex3]{\color{red}II)}[/tex3]
Fazendo [tex3]{\color{red}II)}[/tex3] em [tex3]{\color{red}I)}[/tex3] :
[tex3]S_{cc}=\frac{r\cdot r\cdot \alpha}{2}=\frac{r^2\cdot \alpha }{2}[/tex3]
Mas:
[tex3]\cos \alpha =\frac{4-y}{4}=\left(1-\frac{y}{4}\right)\rightarrow \alpha =\boxed{\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right)}[/tex3]
Então:
[tex3]S_{cc}=\frac{r^2\cdot \alpha }{2}=\frac{r^2}{2}\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right) [/tex3]
[tex3]S_{cc}=8\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right) [/tex3]
Agora, vamos encontrar a área do triângulo [tex3]ACD[/tex3] :
[tex3]S_t=\frac{\overline{CD}\cdot (4-y)}{2}[/tex3]
Onde [tex3]\overline{CD}[/tex3] pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]4^2=(4-y)^2+\overline{CD}^2[/tex3]
[tex3]\overline{CD}=\sqrt{8\cdot y-y^2}[/tex3]
De onde tiramos:
[tex3]S_t=\frac{\sqrt{8\cdot y-y^2}\cdot (4-y)}{2}[/tex3]
Por fim, a área desejada será:
[tex3]S_b=\boxed{8\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right)-\frac{\sqrt{8\cdot y-y^2}\cdot (4-y)}{2}}[/tex3]
Cálculo
Tomando a equação geral da circunferência, no ponto [tex3]C(x_c,y_c)[/tex3] :
[tex3](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2[/tex3]
Com [tex3]x_c=0[/tex3] e [tex3]y_c=r[/tex3] , obtemos:
[tex3](x)^2+(y-r)^2=r^2[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{r^2-(y-r)^2}[/tex3]
A área destacada pode ser obtida a partir da integral definida dada por:
[tex3]\int\limits_{0}^{h}\sqrt{r^2-(y-r)^2}dy[/tex3]
De onde, obtemos para a área desejada multiplicando-se por dois, a expressão dada por:
[tex3]S=\left|(h-r)\cdot \sqrt{r^2-(h-r)^2}+r^2 \left(\arcsen\frac{h-r}{r}-\frac{3\cdot \pi }{2}\right) \right|[/tex3]
Temos dois métodos para fazer isso, Geometria Euclidiana e Cálculo. Observe:
Geometria Euclidiana
- Geogebra online (5).png (89.18 KiB) Exibido 1412 vezes
Note que:
[tex3]\overline{AD}=r=4[/tex3]
[tex3]\widehat{BD}=l[/tex3]
[tex3]\overline{CA}=4-y[/tex3]
Podemos fazer:
[tex3]\cos \alpha =\frac{4-y}{4}=1-\frac{y}{4}[/tex3]
Além disso:
[tex3]\widehat{BD}=l\rightarrow l=r\cdot \alpha [/tex3] [tex3]{\color{red}I)}[/tex3]
A área do setor circular definido por [tex3]BDA[/tex3] sera:
[tex3]S_{cc}=\frac{r\cdot l}{2}[/tex3] [tex3]{\color{red}II)}[/tex3]
Fazendo [tex3]{\color{red}II)}[/tex3] em [tex3]{\color{red}I)}[/tex3] :
[tex3]S_{cc}=\frac{r\cdot r\cdot \alpha}{2}=\frac{r^2\cdot \alpha }{2}[/tex3]
Mas:
[tex3]\cos \alpha =\frac{4-y}{4}=\left(1-\frac{y}{4}\right)\rightarrow \alpha =\boxed{\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right)}[/tex3]
Então:
[tex3]S_{cc}=\frac{r^2\cdot \alpha }{2}=\frac{r^2}{2}\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right) [/tex3]
[tex3]S_{cc}=8\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right) [/tex3]
Agora, vamos encontrar a área do triângulo [tex3]ACD[/tex3] :
[tex3]S_t=\frac{\overline{CD}\cdot (4-y)}{2}[/tex3]
Onde [tex3]\overline{CD}[/tex3] pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]4^2=(4-y)^2+\overline{CD}^2[/tex3]
[tex3]\overline{CD}=\sqrt{8\cdot y-y^2}[/tex3]
De onde tiramos:
[tex3]S_t=\frac{\sqrt{8\cdot y-y^2}\cdot (4-y)}{2}[/tex3]
Por fim, a área desejada será:
[tex3]S_b=\boxed{8\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right)-\frac{\sqrt{8\cdot y-y^2}\cdot (4-y)}{2}}[/tex3]
Cálculo
- Geogebra online (6).png (72.93 KiB) Exibido 1412 vezes
Tomando a equação geral da circunferência, no ponto [tex3]C(x_c,y_c)[/tex3] :
[tex3](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2[/tex3]
Com [tex3]x_c=0[/tex3] e [tex3]y_c=r[/tex3] , obtemos:
[tex3](x)^2+(y-r)^2=r^2[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{r^2-(y-r)^2}[/tex3]
A área destacada pode ser obtida a partir da integral definida dada por:
[tex3]\int\limits_{0}^{h}\sqrt{r^2-(y-r)^2}dy[/tex3]
De onde, obtemos para a área desejada multiplicando-se por dois, a expressão dada por:
[tex3]S=\left|(h-r)\cdot \sqrt{r^2-(h-r)^2}+r^2 \left(\arcsen\frac{h-r}{r}-\frac{3\cdot \pi }{2}\right) \right|[/tex3]
Última edição: Planck (Dom 24 Mar, 2019 13:47). Total de 3 vezes.
Razão: limites de integração
Razão: limites de integração
Mar 2019
24
17:59
Re: Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
Me familiarizei mais com o método do cálculo. Bom, como ja deve saber, a ''fórmula'' de uma edo em casos de esvaziamento de tanque é y'= (Ah/Aw).√2g.√y, sendo o Aw a área da secção transversal na qual eu tive a dúvida. Nesse caso, como seria a substituição do Aw na fórmula da edo ?
Mar 2019
25
17:54
Re: Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
Me familiarizei mais com o método do cálculo. Bom, como ja deve saber, a ''fórmula'' de uma edo em casos de esvaziamento de tanque é y'= (Ah/Aw).√2g.√y, sendo o Aw a área da secção transversal na qual eu tive a dúvida. Nesse caso, como seria a substituição do Aw na fórmula da edo?
Foi dito que a água estará na metade do tanque, logo:Suponha que o tanque tenha água pela metade
[tex3]A(w)=2\cdot A(y)=2\cdot \int\limits_{0}^{4}\sqrt{4^2-(y-4)^2}dy[/tex3]
[tex3]\boxed{A(w)=2\cdot 4\pi =8\pi} [/tex3]
Última edição: Planck (Seg 25 Mar, 2019 17:55). Total de 2 vezes.
Mar 2019
25
18:16
Re: Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
Entendi.
Muuito obrigado, me salvou bastante nessa questão.
Muuito obrigado, me salvou bastante nessa questão.
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