Boa Noite Pessoal, estou com uma dúvida nessa questão. Não consigo descobrir a area secção transversal quando o cilindro está deitado. Poderiam me ajudar ?
Enunciado:
O tanque da Figura é um cilindro de 4 m de raio e 15 m de
comprimento. Suponha que o tanque tenha água pela metade e que
a água esteja vazando por um buraco de área B = 0,001 m²
no fundo do tanque. Determine o nível d’água y(t) e o tempo que leva
para o tanque esvaziar.
Resposta: y= 8-(8 + 0,0002215t)^2/3 ( Provavelmente ele passou m para pés).
te=66000 s, ou 18h e 20 min.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2019
23
19:10
Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
- Anexos
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- Imagem da Questão
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Planck
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Mar 2019
24
12:54
Re: Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
Olá Luffy300,
Geometria Euclidiana
Note que:
[tex3]\overline{AD}=r=4[/tex3]
[tex3]\widehat{BD}=l[/tex3]
[tex3]\overline{CA}=4-y[/tex3]
Podemos fazer:
[tex3]\cos \alpha =\frac{4-y}{4}=1-\frac{y}{4}[/tex3]
Além disso:
[tex3]\widehat{BD}=l\rightarrow l=r\cdot \alpha [/tex3] [tex3]{\color{red}I)}[/tex3]
A área do setor circular definido por [tex3]BDA[/tex3] sera:
[tex3]S_{cc}=\frac{r\cdot l}{2}[/tex3] [tex3]{\color{red}II)}[/tex3]
Fazendo [tex3]{\color{red}II)}[/tex3] em [tex3]{\color{red}I)}[/tex3] :
[tex3]S_{cc}=\frac{r\cdot r\cdot \alpha}{2}=\frac{r^2\cdot \alpha }{2}[/tex3]
Mas:
[tex3]\cos \alpha =\frac{4-y}{4}=\left(1-\frac{y}{4}\right)\rightarrow \alpha =\boxed{\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right)}[/tex3]
Então:
[tex3]S_{cc}=\frac{r^2\cdot \alpha }{2}=\frac{r^2}{2}\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right) [/tex3]
[tex3]S_{cc}=8\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right) [/tex3]
Agora, vamos encontrar a área do triângulo [tex3]ACD[/tex3] :
[tex3]S_t=\frac{\overline{CD}\cdot (4-y)}{2}[/tex3]
Onde [tex3]\overline{CD}[/tex3] pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]4^2=(4-y)^2+\overline{CD}^2[/tex3]
[tex3]\overline{CD}=\sqrt{8\cdot y-y^2}[/tex3]
De onde tiramos:
[tex3]S_t=\frac{\sqrt{8\cdot y-y^2}\cdot (4-y)}{2}[/tex3]
Por fim, a área desejada será:
[tex3]S_b=\boxed{8\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right)-\frac{\sqrt{8\cdot y-y^2}\cdot (4-y)}{2}}[/tex3]
Cálculo
Tomando a equação geral da circunferência, no ponto [tex3]C(x_c,y_c)[/tex3] :
[tex3](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2[/tex3]
Com [tex3]x_c=0[/tex3] e [tex3]y_c=r[/tex3] , obtemos:
[tex3](x)^2+(y-r)^2=r^2[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{r^2-(y-r)^2}[/tex3]
A área destacada pode ser obtida a partir da integral definida dada por:
[tex3]\int\limits_{0}^{h}\sqrt{r^2-(y-r)^2}dy[/tex3]
De onde, obtemos para a área desejada multiplicando-se por dois, a expressão dada por:
[tex3]S=\left|(h-r)\cdot \sqrt{r^2-(h-r)^2}+r^2 \left(\arcsen\frac{h-r}{r}-\frac{3\cdot \pi }{2}\right) \right|[/tex3]
Temos dois métodos para fazer isso, Geometria Euclidiana e Cálculo. Observe:
Geometria Euclidiana
- Geogebra online (5).png (89.18 KiB) Exibido 1417 vezes
Note que:
[tex3]\overline{AD}=r=4[/tex3]
[tex3]\widehat{BD}=l[/tex3]
[tex3]\overline{CA}=4-y[/tex3]
Podemos fazer:
[tex3]\cos \alpha =\frac{4-y}{4}=1-\frac{y}{4}[/tex3]
Além disso:
[tex3]\widehat{BD}=l\rightarrow l=r\cdot \alpha [/tex3] [tex3]{\color{red}I)}[/tex3]
A área do setor circular definido por [tex3]BDA[/tex3] sera:
[tex3]S_{cc}=\frac{r\cdot l}{2}[/tex3] [tex3]{\color{red}II)}[/tex3]
Fazendo [tex3]{\color{red}II)}[/tex3] em [tex3]{\color{red}I)}[/tex3] :
[tex3]S_{cc}=\frac{r\cdot r\cdot \alpha}{2}=\frac{r^2\cdot \alpha }{2}[/tex3]
Mas:
[tex3]\cos \alpha =\frac{4-y}{4}=\left(1-\frac{y}{4}\right)\rightarrow \alpha =\boxed{\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right)}[/tex3]
Então:
[tex3]S_{cc}=\frac{r^2\cdot \alpha }{2}=\frac{r^2}{2}\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right) [/tex3]
[tex3]S_{cc}=8\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right) [/tex3]
Agora, vamos encontrar a área do triângulo [tex3]ACD[/tex3] :
[tex3]S_t=\frac{\overline{CD}\cdot (4-y)}{2}[/tex3]
Onde [tex3]\overline{CD}[/tex3] pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]4^2=(4-y)^2+\overline{CD}^2[/tex3]
[tex3]\overline{CD}=\sqrt{8\cdot y-y^2}[/tex3]
De onde tiramos:
[tex3]S_t=\frac{\sqrt{8\cdot y-y^2}\cdot (4-y)}{2}[/tex3]
Por fim, a área desejada será:
[tex3]S_b=\boxed{8\cdot\arccos \left(1-\frac{y}{4}\right)-\frac{\sqrt{8\cdot y-y^2}\cdot (4-y)}{2}}[/tex3]
Cálculo
- Geogebra online (6).png (72.93 KiB) Exibido 1417 vezes
Tomando a equação geral da circunferência, no ponto [tex3]C(x_c,y_c)[/tex3] :
[tex3](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2[/tex3]
Com [tex3]x_c=0[/tex3] e [tex3]y_c=r[/tex3] , obtemos:
[tex3](x)^2+(y-r)^2=r^2[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{r^2-(y-r)^2}[/tex3]
A área destacada pode ser obtida a partir da integral definida dada por:
[tex3]\int\limits_{0}^{h}\sqrt{r^2-(y-r)^2}dy[/tex3]
De onde, obtemos para a área desejada multiplicando-se por dois, a expressão dada por:
[tex3]S=\left|(h-r)\cdot \sqrt{r^2-(h-r)^2}+r^2 \left(\arcsen\frac{h-r}{r}-\frac{3\cdot \pi }{2}\right) \right|[/tex3]
Editado pela última vez por Planck em 24 Mar 2019, 13:47, em um total de 3 vezes.
Razão: limites de integração
Razão: limites de integração
Mar 2019
24
17:59
Re: Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
Me familiarizei mais com o método do cálculo. Bom, como ja deve saber, a ''fórmula'' de uma edo em casos de esvaziamento de tanque é y'= (Ah/Aw).√2g.√y, sendo o Aw a área da secção transversal na qual eu tive a dúvida. Nesse caso, como seria a substituição do Aw na fórmula da edo ?
-
Planck
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Mar 2019
25
17:54
Re: Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
Me familiarizei mais com o método do cálculo. Bom, como ja deve saber, a ''fórmula'' de uma edo em casos de esvaziamento de tanque é y'= (Ah/Aw).√2g.√y, sendo o Aw a área da secção transversal na qual eu tive a dúvida. Nesse caso, como seria a substituição do Aw na fórmula da edo?
Foi dito que a água estará na metade do tanque, logo:Suponha que o tanque tenha água pela metade
[tex3]A(w)=2\cdot A(y)=2\cdot \int\limits_{0}^{4}\sqrt{4^2-(y-4)^2}dy[/tex3]
[tex3]\boxed{A(w)=2\cdot 4\pi =8\pi} [/tex3]
Editado pela última vez por Planck em 25 Mar 2019, 17:55, em um total de 2 vezes.
Mar 2019
25
18:16
Re: Equações Diferencias Ordinarias - Esvaziamento de Tanque
Entendi.
Muuito obrigado, me salvou bastante nessa questão.
Muuito obrigado, me salvou bastante nessa questão.
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