Ensino Superior ⇒ Limite Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:18577)]

Qual o limite?

[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{(x + a)^n - a^n}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{(x + a)^n - a^n}{x}[/tex3]

[jvmago]

[tex3]lim _{x->0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim _{x->0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

[tex3]lim _{x->0}\frac{n(x+a)^{n-1}}{1}=n*a^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim _{x->0}\frac{n(x+a)^{n-1}}{1}=n*a^{n-1}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:18577)]

[tex3]lim _{x->0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim _{x->0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

[tex3]lim _{x->0}\frac{n(x+a)^{n-1}}{1}=n*a^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim _{x->0}\frac{n(x+a)^{n-1}}{1}=n*a^{n-1}[/tex3]

Você pode, por favor, explicar melhor?

[jvmago]

[tex3]lim _{x->0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim _{x->0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

[tex3]lim _{x->0}\frac{n(x+a)^{n-1}}{1}=n*a^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim _{x->0}\frac{n(x+a)^{n-1}}{1}=n*a^{n-1}[/tex3]

Você pode, por favor, explicar melhor?

Aplique o teorema de l'hopital, derivando em cima e em baixo em relação a x

[rodBR]

Outra solução:
Lembrando da identidade algébrica:
[tex3]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

Aplicando a identidade algébrica:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{[(x+a)-a)][(x+a)^{n-1}+(x+a)^{n-2}a+(x+a)^{n-3}a^2+...+(x+a)a^{n-2}+a^{n-1}]}{x}\\
\lim_{x\rightarrow\ 0}\frac{\cancel{x}\cdot[(x+a)^{n-1}+(x+a)^{n-2}a+(x+a)^{n-3}a^2+...+(x+a)a^{n-2}+a^{n-1}]}{\cancel{x}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{[(x+a)-a)][(x+a)^{n-1}+(x+a)^{n-2}a+(x+a)^{n-3}a^2+...+(x+a)a^{n-2}+a^{n-1}]}{x}\\
\lim_{x\rightarrow\ 0}\frac{\cancel{x}\cdot[(x+a)^{n-1}+(x+a)^{n-2}a+(x+a)^{n-3}a^2+...+(x+a)a^{n-2}+a^{n-1}]}{\cancel{x}}[/tex3]

Disso segue o resultado...

[rodBR]

Outra solução:
Lembrando da identidade algébrica:
[tex3]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{(x+a)^n-a^n}{x}[/tex3]

Aplicando a identidade algébrica:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{[(x+a)-a)][(x+a)^{n-1}+(x+a)^{n-2}a+(x+a)^{n-3}a^2+...+(x+a)a^{n-2}+a^{n-1}]}{x}\\
\lim_{x\rightarrow\ 0}\frac{\cancel{x}\cdot[(x+a)^{n-1}+(x+a)^{n-2}a+(x+a)^{n-3}a^2+...+(x+a)a^{n-2}+a^{n-1}]}{\cancel{x}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{[(x+a)-a)][(x+a)^{n-1}+(x+a)^{n-2}a+(x+a)^{n-3}a^2+...+(x+a)a^{n-2}+a^{n-1}]}{x}\\
\lim_{x\rightarrow\ 0}\frac{\cancel{x}\cdot[(x+a)^{n-1}+(x+a)^{n-2}a+(x+a)^{n-3}a^2+...+(x+a)a^{n-2}+a^{n-1}]}{\cancel{x}}[/tex3]

Aplicando o limite, fica:
[tex3]\lim_{x\rightarrow\ 0}[(0+a)^{n-1}+(0+a)^{n-2}a+(0+a)^{n-3}a^2+...+(0+a)a^{n-2}+a^{n-1}]\\
=a^{n-1}+a^{n-1}+a^{n-1}+...+a^{n-1}+a^{n-1}\\
\lim_{x\rightarrow\ 0}\frac{(x+a)^{n}-a^n}{x}=n\cdot a^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\rightarrow\ 0}[(0+a)^{n-1}+(0+a)^{n-2}a+(0+a)^{n-3}a^2+...+(0+a)a^{n-2}+a^{n-1}]\\
=a^{n-1}+a^{n-1}+a^{n-1}+...+a^{n-1}+a^{n-1}\\
\lim_{x\rightarrow\ 0}\frac{(x+a)^{n}-a^n}{x}=n\cdot a^{n-1}[/tex3]

Obs: tô usando outra msg, pois tá dando problema para editar a mensagem acima. Resolvi enviar a solução completa para facilitar a ideia


att>>rodBR