Calculo Diferencial e Integral II
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
Ensino Superior ⇒ Derivadas parciais de segunda ordem Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2019
21
16:04
Derivadas parciais de segunda ordem
Última edição: caju (Qua 20 Mar, 2019 19:07). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
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Mar 2019
21
21:33
Re: Derivadas parciais de segunda ordem
Observe
Solução:
f( x , y ) = sen ( 3x + y² )
Calculando [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=[sen(3x+y^2)]'=[cos (3x+y^2)].(3x+y^2)'=[cos(3x+y^2)].(3+0)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=3cos(3x+y^2)[/tex3]
Então;
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [3cos(3x+y^2)]=[-3sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'=[-3sen(3x+y^2)].(3+0)[/tex3]
Logo,
[tex3]\boxed{{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-9sen(3x+y^2)}}[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3] , vem;
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=[sen(3x+y^2)]'=[cos (3x+y^2)].(3x+y^2)'=[cos(3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2ycos(3x+y^2)[/tex3]
Então;
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [2ycos(3x+y^2)]=(2y)'.cos(3x+y^2)+2y.[cos (3x+y^2)]'[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)+2y[-sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'=2cos(3x+y^2)-2y.[sen(3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]
Logo;
[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)-4y^2sen(3x+y^2)}[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3] , fica;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [2ycos(3x+y^2)]=2y.[-sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-2y.[sen (3x+y^2)].(3+0)[/tex3]
Logo;
[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-6ysen (3x+y^2)}[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3] , vem;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [3cos(3x+y^2)]=[-3sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=[-3sen (3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]
Logo;
[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-6ysen (3x+y^2)}[/tex3]
Bons estudos!
Solução:
f( x , y ) = sen ( 3x + y² )
Calculando [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=[sen(3x+y^2)]'=[cos (3x+y^2)].(3x+y^2)'=[cos(3x+y^2)].(3+0)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=3cos(3x+y^2)[/tex3]
Então;
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [3cos(3x+y^2)]=[-3sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'=[-3sen(3x+y^2)].(3+0)[/tex3]
Logo,
[tex3]\boxed{{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-9sen(3x+y^2)}}[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3] , vem;
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=[sen(3x+y^2)]'=[cos (3x+y^2)].(3x+y^2)'=[cos(3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2ycos(3x+y^2)[/tex3]
Então;
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [2ycos(3x+y^2)]=(2y)'.cos(3x+y^2)+2y.[cos (3x+y^2)]'[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)+2y[-sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'=2cos(3x+y^2)-2y.[sen(3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]
Logo;
[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)-4y^2sen(3x+y^2)}[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3] , fica;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [2ycos(3x+y^2)]=2y.[-sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-2y.[sen (3x+y^2)].(3+0)[/tex3]
Logo;
[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-6ysen (3x+y^2)}[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3] , vem;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [3cos(3x+y^2)]=[-3sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=[-3sen (3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]
Logo;
[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-6ysen (3x+y^2)}[/tex3]
Bons estudos!
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Abr 2019
10
13:31
Re: Derivadas parciais de segunda ordem
Olá Danilo308, a resposta final é:
[tex3]\boxed{{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-9sen(3x+y^2)}}[/tex3]
e
[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)-4y^2sen(3x+y^2)}[/tex3]
Pois, ele não pediu todas as derivadas parciais de segunda ordem, por isso não precisa incluir as derivadas parciais de segunda ordem mistas.De qualquer forma se alguém tiver pesquisando aí estão todas as derivadas parciais de segunda ordem.
[tex3]\boxed{{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-9sen(3x+y^2)}}[/tex3]
e
[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)-4y^2sen(3x+y^2)}[/tex3]
Pois, ele não pediu todas as derivadas parciais de segunda ordem, por isso não precisa incluir as derivadas parciais de segunda ordem mistas.De qualquer forma se alguém tiver pesquisando aí estão todas as derivadas parciais de segunda ordem.
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