Ensino Superior ⇒ Derivadas parciais de segunda ordem Tópico resolvido

[Danilo308]

Calculo Diferencial e Integral II

Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função

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[Cardoso1979]

Observe

Solução:

f( x , y ) = sen ( 3x + y² )

Calculando [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3]

, temos:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=[sen(3x+y^2)]'=[cos (3x+y^2)].(3x+y^2)'=[cos(3x+y^2)].(3+0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=[sen(3x+y^2)]'=[cos (3x+y^2)].(3x+y^2)'=[cos(3x+y^2)].(3+0)[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=3cos(3x+y^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=3cos(3x+y^2)[/tex3]

Então;

Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3]

, temos:

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [3cos(3x+y^2)]=[-3sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'=[-3sen(3x+y^2)].(3+0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [3cos(3x+y^2)]=[-3sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'=[-3sen(3x+y^2)].(3+0)[/tex3]

Logo,

[tex3]\boxed{{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-9sen(3x+y^2)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-9sen(3x+y^2)}}[/tex3]

Calculando [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3]

, vem;


[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=[sen(3x+y^2)]'=[cos (3x+y^2)].(3x+y^2)'=[cos(3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=[sen(3x+y^2)]'=[cos (3x+y^2)].(3x+y^2)'=[cos(3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2ycos(3x+y^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=2ycos(3x+y^2)[/tex3]

Então;

Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3]

, temos:

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [2ycos(3x+y^2)]=(2y)'.cos(3x+y^2)+2y.[cos (3x+y^2)]'[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [2ycos(3x+y^2)]=(2y)'.cos(3x+y^2)+2y.[cos (3x+y^2)]'[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)+2y[-sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'=2cos(3x+y^2)-2y.[sen(3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)+2y[-sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'=2cos(3x+y^2)-2y.[sen(3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]

Logo;

[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)-4y^2sen(3x+y^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)-4y^2sen(3x+y^2)}[/tex3]

Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3]

, fica;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [2ycos(3x+y^2)]=2y.[-sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [2ycos(3x+y^2)]=2y.[-sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-2y.[sen (3x+y^2)].(3+0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-2y.[sen (3x+y^2)].(3+0)[/tex3]

Logo;

[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-6ysen (3x+y^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-6ysen (3x+y^2)}[/tex3]

Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]

, vem;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [3cos(3x+y^2)]=[-3sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [3cos(3x+y^2)]=[-3sen(3x+y^2)].(3x+y^2)'[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=[-3sen (3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=[-3sen (3x+y^2)].(0+2y)[/tex3]

Logo;

[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-6ysen (3x+y^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-6ysen (3x+y^2)}[/tex3]

Bons estudos!

[Danilo308]

O mestre a resposta final será está??

[Cardoso1979]

Olá Danilo308, a resposta final é:

[tex3]\boxed{{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-9sen(3x+y^2)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-9sen(3x+y^2)}}[/tex3]

e

[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)-4y^2sen(3x+y^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2cos(3x+y^2)-4y^2sen(3x+y^2)}[/tex3]

Pois, ele não pediu todas as derivadas parciais de segunda ordem, por isso não precisa incluir as derivadas parciais de segunda ordem mistas.De qualquer forma se alguém tiver pesquisando aí estão todas as derivadas parciais de segunda ordem.