Ensino Superior ⇒ Limite com indeterminação Tópico resolvido

[raphaelsilvz]

Olá, alguém tem alguma dica de como resolver este limite sem ser por l'Hôpital ?

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x²-1}{\sqrt[3]{x}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x²-1}{\sqrt[3]{x}-1}[/tex3]

Agradeço desde já.

[ALANSILVA]

Use [tex3]\sqrt[3]{3}=x^\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[3]{3}=x^\frac{1}{3}[/tex3]

derivando fica [tex3]\frac{1}{3}x^{\frac{-2}{3}}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}x^{\frac{-2}{3}}[/tex3]

vê se consegue continuar

[raphaelsilvz]

Queria uma dica sem ser através da regra de l'Hôpital, man. Não vi ainda derivadas ainda estou vendo somente limites

[ALANSILVA]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x+1)(x-1)(\sqrt[3]{x^2}+1)}{x-1}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x+1)(x-1)(\sqrt[3]{x^2}+1)}{x-1}[/tex3]

=4
Use o método da racionalização

https://www.youtube.com/watch?v=4GTpQ9w6dOA

[raphaelsilvz]

Esse denominador [tex3]x-1[/tex3]

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[tex3]x-1[/tex3]

está correto ? Pois, pelo que percebi, você multiplicou acima e abaixo por [tex3]\sqrt[3]{x^2}+1[/tex3]

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[tex3]\sqrt[3]{x^2}+1[/tex3]

. Sendo que [tex3](\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+1)= x+\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}-1[/tex3]

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[tex3](\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+1)= x+\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}-1[/tex3]

oq manteria a indeterminação.

[MateusQqMD]

Olá. Me metendo um pouco no tópico, eu encontrei outro resultado

Usando que [tex3](x-1) = (\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)[/tex3]

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[tex3](x-1) = (\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1} \,\frac{x²-1}{\sqrt[3]{x}-1}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 1} \,\frac{x²-1}{\sqrt[3]{x}-1}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1} \, \frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{x}-1}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 1} \, \frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{x}-1}[/tex3]

Isto é,

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1} \, \frac{(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)(x+1)}{\sqrt[3]{x}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1} \, \frac{(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)(x+1)}{\sqrt[3]{x}-1}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1} \, \frac{\cancel{(\sqrt[3]{x} - 1)}(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)(x+1)}{\cancel{\sqrt[3]{x}-1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1} \, \frac{\cancel{(\sqrt[3]{x} - 1)}(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)(x+1)}{\cancel{\sqrt[3]{x}-1}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\, (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)(x+1) = 6[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\, (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)(x+1) = 6[/tex3]

[raphaelsilvz]

Obrigado a quem tentou ajuda. O amigo mostrou a resolução.

[ALANSILVA]

Isso mesmo esqueci da diferença de dois cubos. Kkkkk
Valeu Matheus

[ALANSILVA]

Por isso que prefiro L 'Hospitall