O valor inteiro mais próximo da soma das derivadas parciais de segunda ordem [tex3]\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\frac{\partial^2f}{\partial y^2},\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\)[/tex3]
a) 11
b) 1
c) 3
d) 5
e) 9
da função [tex3]f(x,y)=x\cos(y)+ye^x[/tex3]
, no ponto [tex3]\(\ln 3,\frac{\pi}{2}\)[/tex3]
, é:Ensino Superior ⇒ Calculo II Derivadas Tópico resolvido
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Mar 2019
18
20:48
Calculo II Derivadas
Última edição: caju (Seg 18 Mar, 2019 21:21). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
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Mar 2019
18
23:05
Re: Calculo II Derivadas
A resposta é 9 letra e) , agora vou estou bastante sonolento, amanhã resolvo
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Mar 2019
19
12:46
Re: Calculo II Derivadas
Observe
Solução:
Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=1.cos(y)+x.0+0.e^x+ye^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=cos(y)+ye^x[/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3] , vem;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'e^x+y.(e^x)'=0+0+ye^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=ye^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{π}{2}.e^{ln3} = \frac{π}{2}.3 ⟹ [/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{3π}{2} [/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=0.cos(y)+x.(-seny)+1.e^x+y.0[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=-xsen(y)+e^x[/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3] , fica;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [-xsen(y)+e^x]=(-xseny)'+(e^x)'=[-x'.sen(y)]-[x.(seny)']+0=-0.sen(y)-xcos(y)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-xcos(y) ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=-ln(3).cos\left(\frac{π}{2}\right)=-ln(3).0[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=0[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [-xsen(y)+e^x]=-x'.sen(y)-x.(seny)'+(e^x)'=-1.sen(y)-x.0+e^x[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'.e^x+y.(e^x)'=-sen(y)+1.e^x+y.0[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial
x}=-sen (y)+e^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]
Assim,
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=[/tex3]
[tex3]\frac{3π}{2}+0+2+2=8,7≈9[/tex3]
Portanto, [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})≈9[/tex3] , alternativa e).
Obs. Confira os cálculos, pois resolver através de celular não é nada fácil!
Nota
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]
Esse caso só não ocorrerá quando as derivadas de primeira ordem não são contínuas em algum ponto. Nesse caso, isso não acontece somente nesse ponto.
Bons estudos!
Solução:
Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=1.cos(y)+x.0+0.e^x+ye^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=cos(y)+ye^x[/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3] , vem;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'e^x+y.(e^x)'=0+0+ye^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=ye^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{π}{2}.e^{ln3} = \frac{π}{2}.3 ⟹ [/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{3π}{2} [/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=0.cos(y)+x.(-seny)+1.e^x+y.0[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=-xsen(y)+e^x[/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3] , fica;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [-xsen(y)+e^x]=(-xseny)'+(e^x)'=[-x'.sen(y)]-[x.(seny)']+0=-0.sen(y)-xcos(y)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-xcos(y) ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=-ln(3).cos\left(\frac{π}{2}\right)=-ln(3).0[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=0[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [-xsen(y)+e^x]=-x'.sen(y)-x.(seny)'+(e^x)'=-1.sen(y)-x.0+e^x[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'.e^x+y.(e^x)'=-sen(y)+1.e^x+y.0[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial
x}=-sen (y)+e^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]
Assim,
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=[/tex3]
[tex3]\frac{3π}{2}+0+2+2=8,7≈9[/tex3]
Portanto, [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})≈9[/tex3] , alternativa e).
Obs. Confira os cálculos, pois resolver através de celular não é nada fácil!
Nota
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]
Esse caso só não ocorrerá quando as derivadas de primeira ordem não são contínuas em algum ponto. Nesse caso, isso não acontece somente nesse ponto.
Bons estudos!
Mar 2019
19
20:37
Re: Calculo II Derivadas
Obrigado! Pela explicação e ajuda.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.
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