Ensino SuperiorCalculo II Derivadas Tópico resolvido

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CabeçãoMG
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Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por CabeçãoMG »

O valor inteiro mais próximo da soma das derivadas parciais de segunda ordem [tex3]\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\frac{\partial^2f}{\partial y^2},\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\)[/tex3] da função [tex3]f(x,y)=x\cos(y)+ye^x[/tex3] , no ponto [tex3]\(\ln 3,\frac{\pi}{2}\)[/tex3] , é:

a) 11
b) 1
c) 3
d) 5
e) 9

Última edição: caju (Seg 18 Mar, 2019 21:21). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.



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Cardoso1979
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Mar 2019 18 23:05

Re: Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

A resposta é 9 letra e) , agora vou 😴😴 estou bastante sonolento, amanhã resolvo 👍




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Cardoso1979
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Re: Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução:

Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3] , temos:


[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=1.cos(y)+x.0+0.e^x+ye^x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=cos(y)+ye^x[/tex3]


Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3] , vem;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'e^x+y.(e^x)'=0+0+ye^x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=ye^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{π}{2}.e^{ln3} = \frac{π}{2}.3 ⟹ [/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{3π}{2} [/tex3]

Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3] , temos:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=0.cos(y)+x.(-seny)+1.e^x+y.0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=-xsen(y)+e^x[/tex3]

Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3] , fica;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [-xsen(y)+e^x]=(-xseny)'+(e^x)'=[-x'.sen(y)]-[x.(seny)']+0=-0.sen(y)-xcos(y)[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-xcos(y) ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=-ln(3).cos\left(\frac{π}{2}\right)=-ln(3).0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=0[/tex3]



Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3] , temos que:

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [-xsen(y)+e^x]=-x'.sen(y)-x.(seny)'+(e^x)'=-1.sen(y)-x.0+e^x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3]

[tex3] \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]



Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3] , temos que:

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'.e^x+y.(e^x)'=-sen(y)+1.e^x+y.0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial
x}=-sen (y)+e^x[/tex3]


[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]

Assim,

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=[/tex3]

[tex3]\frac{3π}{2}+0+2+2=8,7≈9[/tex3]


Portanto, [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})≈9[/tex3] , alternativa e).

Obs. Confira os cálculos, pois resolver através de celular não é nada fácil!


Nota

[tex3] \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]

Esse caso só não ocorrerá quando as derivadas de primeira ordem não são contínuas em algum ponto. Nesse caso, isso não acontece somente nesse ponto.


Bons estudos!



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CabeçãoMG
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Mar 2019 19 20:37

Re: Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por CabeçãoMG »

Obrigado! Pela explicação e ajuda.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.



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Cardoso1979
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Re: Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

CabeçãoMG escreveu:
Ter 19 Mar, 2019 20:37
Obrigado! Pela explicação e ajuda.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.
Disponha 👍




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