Ensino SuperiorCalculo II Derivadas Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
CabeçãoMG
Pleno
Mensagens: 53
Registrado em: Qui 01 Mar, 2018 21:13
Última visita: 14-11-19
Mar 2019 18 20:48

Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por CabeçãoMG »

O valor inteiro mais próximo da soma das derivadas parciais de segunda ordem [tex3]\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\frac{\partial^2f}{\partial y^2},\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\)[/tex3] da função [tex3]f(x,y)=x\cos(y)+ye^x[/tex3] , no ponto [tex3]\(\ln 3,\frac{\pi}{2}\)[/tex3] , é:

a) 11
b) 1
c) 3
d) 5
e) 9

Última edição: caju (Seg 18 Mar, 2019 21:21). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Mar 2019 18 23:05

Re: Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

A resposta é 9 letra e) , agora vou 😴😴 estou bastante sonolento, amanhã resolvo 👍




Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Mar 2019 19 12:46

Re: Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução:

Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3] , temos:


[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=1.cos(y)+x.0+0.e^x+ye^x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=cos(y)+ye^x[/tex3]


Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3] , vem;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'e^x+y.(e^x)'=0+0+ye^x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=ye^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{π}{2}.e^{ln3} = \frac{π}{2}.3 ⟹ [/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{3π}{2} [/tex3]

Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3] , temos:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=0.cos(y)+x.(-seny)+1.e^x+y.0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=-xsen(y)+e^x[/tex3]

Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3] , fica;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [-xsen(y)+e^x]=(-xseny)'+(e^x)'=[-x'.sen(y)]-[x.(seny)']+0=-0.sen(y)-xcos(y)[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-xcos(y) ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=-ln(3).cos\left(\frac{π}{2}\right)=-ln(3).0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=0[/tex3]



Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3] , temos que:

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [-xsen(y)+e^x]=-x'.sen(y)-x.(seny)'+(e^x)'=-1.sen(y)-x.0+e^x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]



Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3] , temos que:

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'.e^x+y.(e^x)'=-sen(y)+1.e^x+y.0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial
x}=-sen (y)+e^x[/tex3]


[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]

Assim,

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=[/tex3]

[tex3]\frac{3π}{2}+0+2+2=8,7≈9[/tex3]


Portanto, [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})≈9[/tex3] , alternativa e).

Obs. Confira os cálculos, pois resolver através de celular não é nada fácil!


Nota

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]

Esse caso só não ocorrerá quando as derivadas de primeira ordem não são contínuas em algum ponto. Nesse caso, isso não acontece somente nesse ponto.


Bons estudos!



Avatar do usuário
Autor do Tópico
CabeçãoMG
Pleno
Mensagens: 53
Registrado em: Qui 01 Mar, 2018 21:13
Última visita: 14-11-19
Mar 2019 19 20:37

Re: Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por CabeçãoMG »

Obrigado! Pela explicação e ajuda.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 4008
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 04-04-23
Localização: Teresina- PI
Mar 2019 19 21:34

Re: Calculo II Derivadas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

CabeçãoMG escreveu:
Ter 19 Mar, 2019 20:37
Obrigado! Pela explicação e ajuda.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.
Disponha 👍




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”