O valor inteiro mais próximo da soma das derivadas parciais de segunda ordem [tex3]\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\frac{\partial^2f}{\partial y^2},\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\)[/tex3]
da função [tex3]f(x,y)=x\cos(y)+ye^x[/tex3]
, no ponto [tex3]\(\ln 3,\frac{\pi}{2}\)[/tex3]
, é:
a) 11
b) 1
c) 3
d) 5
e) 9
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
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Ensino Superior ⇒ Calculo II Derivadas Tópico resolvido
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Cardoso1979
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Mar 2019
18
23:05
Re: Calculo II Derivadas
A resposta é 9 letra e) , agora vou 
estou bastante sonolento, amanhã resolvo 
estou bastante sonolento, amanhã resolvo 
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Cardoso1979
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Mar 2019
19
12:46
Re: Calculo II Derivadas
Observe
Solução:
Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=1.cos(y)+x.0+0.e^x+ye^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=cos(y)+ye^x[/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3] , vem;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'e^x+y.(e^x)'=0+0+ye^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=ye^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{π}{2}.e^{ln3} = \frac{π}{2}.3 ⟹ [/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{3π}{2} [/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=0.cos(y)+x.(-seny)+1.e^x+y.0[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=-xsen(y)+e^x[/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3] , fica;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [-xsen(y)+e^x]=(-xseny)'+(e^x)'=[-x'.sen(y)]-[x.(seny)']+0=-0.sen(y)-xcos(y)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-xcos(y) ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=-ln(3).cos\left(\frac{π}{2}\right)=-ln(3).0[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=0[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [-xsen(y)+e^x]=-x'.sen(y)-x.(seny)'+(e^x)'=-1.sen(y)-x.0+e^x[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'.e^x+y.(e^x)'=-sen(y)+1.e^x+y.0[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial
x}=-sen (y)+e^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]
Assim,
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=[/tex3]
[tex3]\frac{3π}{2}+0+2+2=8,7≈9[/tex3]
Portanto, [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})≈9[/tex3] , alternativa e).
Obs. Confira os cálculos, pois resolver através de celular não é nada fácil!
Nota
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]
Esse caso só não ocorrerá quando as derivadas de primeira ordem não são contínuas em algum ponto. Nesse caso, isso não acontece somente nesse ponto.
Bons estudos!
Solução:
Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=1.cos(y)+x.0+0.e^x+ye^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=cos(y)+ye^x[/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3] , vem;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'e^x+y.(e^x)'=0+0+ye^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=ye^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{π}{2}.e^{ln3} = \frac{π}{2}.3 ⟹ [/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{3π}{2} [/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=0.cos(y)+x.(-seny)+1.e^x+y.0[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=-xsen(y)+e^x[/tex3]
Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3] , fica;
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [-xsen(y)+e^x]=(-xseny)'+(e^x)'=[-x'.sen(y)]-[x.(seny)']+0=-0.sen(y)-xcos(y)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-xcos(y) ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=-ln(3).cos\left(\frac{π}{2}\right)=-ln(3).0[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=0[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [-xsen(y)+e^x]=-x'.sen(y)-x.(seny)'+(e^x)'=-1.sen(y)-x.0+e^x[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]
Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'.e^x+y.(e^x)'=-sen(y)+1.e^x+y.0[/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial
x}=-sen (y)+e^x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3] ⟹
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]
Assim,
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=[/tex3]
[tex3]\frac{3π}{2}+0+2+2=8,7≈9[/tex3]
Portanto, [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})≈9[/tex3] , alternativa e).
Obs. Confira os cálculos, pois resolver através de celular não é nada fácil!
Nota
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]
Esse caso só não ocorrerá quando as derivadas de primeira ordem não são contínuas em algum ponto. Nesse caso, isso não acontece somente nesse ponto.
Bons estudos!
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CabeçãoMG
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Mar 2019
19
20:37
Re: Calculo II Derivadas
Obrigado! Pela explicação e ajuda.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.
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Cardoso1979
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