Ensino Superior ⇒ Limites pela definição Tópico resolvido

[Baguncinha]

Prove a proposição usando a definição de [tex3]\varepsilon [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\varepsilon [/tex3]

e [tex3]\delta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta [/tex3]

lim_{x[tex3]\rightarrow 3[/tex3]}(1-4x)=-11
Consigo realizar esse tipo de demonstração apenas no "modo automático" e não consigo compreender como o limite realmente está provado.

[Cardoso1979]

Observe

Prova

A primeira exigência da definição é que 1 - 4x seja definida em todo número de algum intervalo aberto contendo 3, exceto possivelmente em 3. Como 1 - 4x está definida para todos os números reais, qualquer intervalo aberto contendo 3 irá satisfazer esse requisito. Precisamos mostrar agora que para todo ε > 0 existe um δ > 0 , tal que
se 0 < | x - 3 | < δ então | ( 1 - 4x ) + 11 | < ε ( I )

Daí;

| - 4x + 12 | = - 4.| x - 3 |. Logo, ( I ) é equivalente à afirmativa se 0 < | x - 3 | < δ então - 4.| x - 3 | < ε ⟺ se 0 < | x - 3 | < δ então | x - 3 | < [tex3]-\frac{1}{4}\varepsilon [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{1}{4}\varepsilon [/tex3]

Essa afirmativa indica que [tex3]-\frac{1}{4}\varepsilon [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{1}{4}\varepsilon [/tex3]

é um δ satisfatório. Com essa escolha de δ temos o seguinte argumento:

0 < | x - 3 | < δ

⇒ - 4.| x - 3 | < - 4.δ

⇒ | - 4x + 12 | < - 4.δ

⇒ | ( - 4x + 1 ) + 11 | < - 4.δ

⇒ | ( 1 - 4x ) + 11 | < ε ( pois δ = [tex3]
-\frac{1}{4}\varepsilon[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
-\frac{1}{4}\varepsilon[/tex3]

)

Assim, estabelecemos que se δ = [tex3]-\frac{1}{4}\varepsilon[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{1}{4}\varepsilon[/tex3]

, a afirmativa ( I ) é verdadeira. Isso prova que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3}(1-4x)=-11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3}(1-4x)=-11[/tex3]

. c.q.p


Nota

Nem no meu tempo de estudante fiz uma prova como essa



Bons estudos!

[Auto Excluído (ID:12031)]

a resposta acima está quazee correta só entenda que [tex3]|-4(x-3)| = |-4||x-3| = +4 \cdot |x-3|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|-4(x-3)| = |-4||x-3| = +4 \cdot |x-3|[/tex3]

onde tiver menos 4 na frente de um módulo ignore o sinal de menos

[Cardoso1979]

a resposta acima está quazee correta só entenda que [tex3]|-4(x-3)| = |-4||x-3| = +4 \cdot |x-3|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|-4(x-3)| = |-4||x-3| = +4 \cdot |x-3|[/tex3]

onde tiver menos 4 na frente de um módulo ignore o sinal de menos

Caramba! Deixei passar isso despercebido, não sei como eu tirei aquele - 4 do módulo deixando ele negativo, valeu pela correção , kkkkkk

[Cardoso1979]

Já que não foi possível editar, aqui está a resposta corrigida:

Observe

Prova

A primeira exigência da definição é que 1 - 4x seja definida em todo número de algum intervalo aberto contendo 3, exceto possivelmente em 3. Como 1 - 4x está definida para todos os números reais, qualquer intervalo aberto contendo 3 irá satisfazer esse requisito. Precisamos mostrar agora que para todo ε > 0 existe um δ > 0 , tal que
se 0 < | x - 3 | < δ então | ( 1 - 4x ) + 11 | < ε ( I )

Daí;

| - 4x + 12 | = 4.| x - 3 |. Logo, ( I ) é equivalente à afirmativa se 0 < | x - 3 | < δ então 4.| x - 3 | < ε ⟺ se 0 < | x - 3 | < δ então | x - 3 | < [tex3]\frac{1}{4}\varepsilon [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}\varepsilon [/tex3]

Essa afirmativa indica que [tex3]\frac{1}{4}\varepsilon [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}\varepsilon [/tex3]

é um δ satisfatório. Com essa escolha de δ temos o seguinte argumento:

0 < | x - 3 | < δ

⇒ 4.| x - 3 | < 4.δ

⇒ | - 4x + 12 | < 4.δ

⇒ | ( - 4x + 1 ) + 11 | < 4.δ

⇒ | ( 1 - 4x ) + 11 | < ε ( pois δ = [tex3]
\frac{1}{4}\varepsilon[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\frac{1}{4}\varepsilon[/tex3]

)

Assim, estabelecemos que se δ = [tex3]\frac{1}{4}\varepsilon[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}\varepsilon[/tex3]

, a afirmativa ( I ) é verdadeira. Isso prova que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3}(1-4x)=-11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 3}(1-4x)=-11[/tex3]

. c.q.p



Bons estudos!