Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 - Limite Tópico resolvido

[kagenizio]

Calcule o limite abaixo sem usar a regra de L'Hopital:
[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[3]{\cos x}}{x^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[3]{\cos x}}{x^{2}}[/tex3]

Resposta

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[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]

[jomatlove]

Resolução
Inicialmente,usamos a fatoração no numerador:[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3]

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[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3]

.Assim,temos:
[tex3]1-\sqrt[3]{cosx}=\frac{(1-\sqrt[3]{cosx})(1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x})}{1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}}=\frac{1-cosx}{1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}}[/tex3]

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[tex3]1-\sqrt[3]{cosx}=\frac{(1-\sqrt[3]{cosx})(1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x})}{1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}}=\frac{1-cosx}{1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}}[/tex3]

Portanto,temos:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1-cosx}{x^2(1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x})}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1-cosx}{x^2(1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x})}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}(\frac{1-cosx}{x^2}.\frac{1}{1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}(\frac{1-cosx}{x^2}.\frac{1}{1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}})[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1-cosx}{x^2}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1}{1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1-cosx}{x^2}.\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{1}{1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/tex3]