Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais Tópico resolvido

[rockleemat]

Verifique se [tex3]f(x) =\frac{2}{π}\int_0^{π/2}\cos (x\cdot \sin\theta)d\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) =\frac{2}{π}\int_0^{π/2}\cos (x\cdot \sin\theta)d\theta[/tex3]

é solução explícita de [tex3]y'' + \frac{y'}{x} + y = 0[/tex3]

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[tex3]y'' + \frac{y'}{x} + y = 0[/tex3]

[AnthonyC]

Para verificarmos, utilizaremos a Regra de Leibniz:

[tex3]{d\over dx}\int_{t_0}^{t_f}f(x,t)dt=\int_{t_0}^{t_f}{\partial\over \partial x}f(x,t)dt[/tex3]

Assim, temos:
[tex3]y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\cos(x\sen(\theta))d\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\cos(x\sen(\theta))d\theta[/tex3]

[tex3]y'={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}{\partial\over \partial x}\cos(x\sen(\theta))d\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y'={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}{\partial\over \partial x}\cos(x\sen(\theta))d\theta[/tex3]

[tex3]y'={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)d\theta[/tex3]

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[tex3]y'={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)d\theta[/tex3]

[tex3]y''={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}{\partial\over \partial x}[-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)]d\theta[/tex3]

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[tex3]y''={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}{\partial\over \partial x}[-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)]d\theta[/tex3]

[tex3]y''={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}-\cos(x\sen(\theta))\sen^2(\theta)d\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y''={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}-\cos(x\sen(\theta))\sen^2(\theta)d\theta[/tex3]

Assim, temos:
[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}-\cos(x\sen(\theta))\sen^2(\theta)+{1\over x}\cdot{2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)d\theta+{2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\cos(x\sen(\theta))d\theta[/tex3]

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[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}-\cos(x\sen(\theta))\sen^2(\theta)+{1\over x}\cdot{2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)d\theta+{2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\cos(x\sen(\theta))d\theta[/tex3]

[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\[-\cos(x\sen(\theta))\sen^2(\theta)+{-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)\over x}+\cos(x\sen(\theta))\][/tex3]

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[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\[-\cos(x\sen(\theta))\sen^2(\theta)+{-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)\over x}+\cos(x\sen(\theta))\][/tex3]

[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\[\cos(x\sen(\theta))(1-\sen^2(\theta))+{-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)\over x}\]d\theta[/tex3]

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[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\[\cos(x\sen(\theta))(1-\sen^2(\theta))+{-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)\over x}\]d\theta[/tex3]

[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\[\cos(x\sen(\theta))\cos^2(\theta)+{-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)\over x}\]d\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\[\cos(x\sen(\theta))\cos^2(\theta)+{-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)\over x}\]d\theta[/tex3]

[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over x\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\[x\cos(x\sen(\theta))\cos^2(\theta)-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)\]d\theta[/tex3]

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[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over x\pi}\int_{0}^{\pi\over2}\[x\cos(x\sen(\theta))\cos^2(\theta)-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta)\]d\theta[/tex3]

Podemos verificar que [tex3]{d\over d\theta}[\sen(x\sen(\theta))\cos(\theta)] =x\cos(x\sen(\theta))\cos^2(\theta)-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta) [/tex3]

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[tex3]{d\over d\theta}[\sen(x\sen(\theta))\cos(\theta)] =x\cos(x\sen(\theta))\cos^2(\theta)-\sen(x\sen(\theta))\sen(\theta) [/tex3]

, logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over x\pi}\cdot[\sen(x\sen(\theta))\cos(\theta)]_{0}^{\pi\over2}[/tex3]

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[tex3]y''+{y'\over x}+y={2\over x\pi}\cdot[\sen(x\sen(\theta))\cos(\theta)]_{0}^{\pi\over2}[/tex3]

[tex3]y''+{y'\over x}+y=0[/tex3]

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[tex3]y''+{y'\over x}+y=0[/tex3]

Portanto, a função satisfaz a EDO