Ensino SuperiorAnálise Combinatória Tópico resolvido

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Auto Excluído (ID:22341)
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Análise Combinatória

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:22341) »

De quantas maneiras diferentes é possível colocar 9 anéis em 4 dedos da mão direita (excluindo o polegar), com a restrição de que no dedo indicador sejam colocados pelo menos 2 anéis, se:

(a) os anéis são todos iguais?

(b) os anéis são todos diferentes?

Última edição: Auto Excluído (ID:22341) (Dom 10 Mar, 2019 04:04). Total de 1 vez.



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csmarcelo
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Mar 2019 10 10:06

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por csmarcelo »

a)

[tex3]a+b+c+d=9[/tex3] , onde cada letra representa o número de anéis postos em um dos 4 dedos.

[tex3]d[/tex3] é o número de anéis colocados no indicador, mas como nesse dedo deve haver pelo menos dois anéis, vamos fazer uma pequena substituição.

[tex3]d=d'+2[/tex3]

Daí,

[tex3]a+b+c+d'+2=9[/tex3]

[tex3]a+b+c+d'=7[/tex3]

O número de soluções inteiras não negativas de uma equação linear como a acima, é dada por

[tex3]CR^n_p[/tex3] , onde [tex3]n[/tex3] corresponde ao total de parcelas da soma e [tex3]p[/tex3] ao valor da soma.

Repare que, com a substituição que fizemos, o menor valor para [tex3]d[/tex3] será 2, visto que o menor valor para [tex3]d'[/tex3] será zero.

Assim, o total de maneiras é igual a [tex3]CR^4_7=C^{4+7-1}_7=120[/tex3]

b)

Aqui, temos que nos importar com que anel vai em que dedo e em que posição ficará naquele dedo.

Isso pode ser resolvido com uma permutação dos anéis. Seria como se os colocássemos nos dedos obedecendo uma fila dos objetos.

Logo, o total de maneiras é igual a [tex3]120\cdot9!=43545600[/tex3]

Nota: a letra (a) poderia ser resolvida de uma forma mais simples, descontando os dois anéis que, obrigatoriamente, devem ter no dedo indicador. Dessa forma, teríamos direto [tex3]a+b+c+d=7[/tex3] . O resultado seria o mesmo, no entanto, acredito que não ficaria clara a sua validade para a letra (b).

Tem o gabarito?

Última edição: csmarcelo (Dom 10 Mar, 2019 10:08). Total de 2 vezes.



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