De quantas maneiras diferentes é possível colocar 9 anéis em 4 dedos da mão direita (excluindo o polegar), com a restrição de que no dedo indicador sejam colocados pelo menos 2 anéis, se:
(a) os anéis são todos iguais?
(b) os anéis são todos diferentes?
Ensino Superior ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Última visita: 31-12-69
Mar 2019
10
04:03
Análise Combinatória
Última edição: Auto Excluído (ID:22341) (Dom 10 Mar, 2019 04:04). Total de 1 vez.
Mar 2019
10
10:06
Re: Análise Combinatória
a)
[tex3]a+b+c+d=9[/tex3] , onde cada letra representa o número de anéis postos em um dos 4 dedos.
[tex3]d[/tex3] é o número de anéis colocados no indicador, mas como nesse dedo deve haver pelo menos dois anéis, vamos fazer uma pequena substituição.
[tex3]d=d'+2[/tex3]
Daí,
[tex3]a+b+c+d'+2=9[/tex3]
[tex3]a+b+c+d'=7[/tex3]
O número de soluções inteiras não negativas de uma equação linear como a acima, é dada por
[tex3]CR^n_p[/tex3] , onde [tex3]n[/tex3] corresponde ao total de parcelas da soma e [tex3]p[/tex3] ao valor da soma.
Repare que, com a substituição que fizemos, o menor valor para [tex3]d[/tex3] será 2, visto que o menor valor para [tex3]d'[/tex3] será zero.
Assim, o total de maneiras é igual a [tex3]CR^4_7=C^{4+7-1}_7=120[/tex3]
b)
Aqui, temos que nos importar com que anel vai em que dedo e em que posição ficará naquele dedo.
Isso pode ser resolvido com uma permutação dos anéis. Seria como se os colocássemos nos dedos obedecendo uma fila dos objetos.
Logo, o total de maneiras é igual a [tex3]120\cdot9!=43545600[/tex3]
Nota: a letra (a) poderia ser resolvida de uma forma mais simples, descontando os dois anéis que, obrigatoriamente, devem ter no dedo indicador. Dessa forma, teríamos direto [tex3]a+b+c+d=7[/tex3] . O resultado seria o mesmo, no entanto, acredito que não ficaria clara a sua validade para a letra (b).
Tem o gabarito?
[tex3]a+b+c+d=9[/tex3] , onde cada letra representa o número de anéis postos em um dos 4 dedos.
[tex3]d[/tex3] é o número de anéis colocados no indicador, mas como nesse dedo deve haver pelo menos dois anéis, vamos fazer uma pequena substituição.
[tex3]d=d'+2[/tex3]
Daí,
[tex3]a+b+c+d'+2=9[/tex3]
[tex3]a+b+c+d'=7[/tex3]
O número de soluções inteiras não negativas de uma equação linear como a acima, é dada por
[tex3]CR^n_p[/tex3] , onde [tex3]n[/tex3] corresponde ao total de parcelas da soma e [tex3]p[/tex3] ao valor da soma.
Repare que, com a substituição que fizemos, o menor valor para [tex3]d[/tex3] será 2, visto que o menor valor para [tex3]d'[/tex3] será zero.
Assim, o total de maneiras é igual a [tex3]CR^4_7=C^{4+7-1}_7=120[/tex3]
b)
Aqui, temos que nos importar com que anel vai em que dedo e em que posição ficará naquele dedo.
Isso pode ser resolvido com uma permutação dos anéis. Seria como se os colocássemos nos dedos obedecendo uma fila dos objetos.
Logo, o total de maneiras é igual a [tex3]120\cdot9!=43545600[/tex3]
Nota: a letra (a) poderia ser resolvida de uma forma mais simples, descontando os dois anéis que, obrigatoriamente, devem ter no dedo indicador. Dessa forma, teríamos direto [tex3]a+b+c+d=7[/tex3] . O resultado seria o mesmo, no entanto, acredito que não ficaria clara a sua validade para a letra (b).
Tem o gabarito?
Última edição: csmarcelo (Dom 10 Mar, 2019 10:08). Total de 2 vezes.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 0 Respostas
- 148 Exibições
-
Última msg por paiva
-
- 0 Respostas
- 555 Exibições
-
Última msg por paiva
-
- 1 Respostas
- 2065 Exibições
-
Última msg por Fibonacci13
-
- 0 Respostas
- 316 Exibições
-
Última msg por Gabi123
-
- 1 Respostas
- 416 Exibições
-
Última msg por csmarcelo