são dados os pontos [tex3]A=(3,6,-7), B=(-5,2,3)[/tex3]
a) Escreva a equação vetorial e paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C, e obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto [tex3]D=(3,1,4)[/tex3]
pertence a essa reta?
b) Verifique que os pontos A, B e C são vértices de um triângulo.
c) Escreva equações paramétricas da mediana relativa ao vértice C do triângulo
e [tex3]C=(4,-7,-6)[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Equação vetorial e paramétrica Tópico resolvido
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21
14:19
Re: Equação vetorial e paramétrica
[tex3]A=(3,6,-7)\hspace{3mm}B=(-5,2,3)\hspace{3mm}C=(4,-7,-6)[/tex3]
a) Seja [tex3]r[/tex3] a reta que passa pelos pontos [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] . Para determinar sua equação precisamos de um ponto e um vetor diretor.
[tex3]B,C\in r[/tex3] então o vetor [tex3]\vec{BC}[/tex3] é um vetor diretor da reta.
[tex3]\vec{BC}=(4-(-5),-7-2,-6-3)=(9,-9,-9)=9(1,-1,-1)[/tex3]
Como o vetor [tex3]\vec{BC}[/tex3] é um múltiplo do vetor [tex3](1,-1,-1)[/tex3] temos que esse vetor também é um vetor diretor de [tex3]r[/tex3] .
Dessa forma, já podemos escrever as equações da reta.
Equação vetorial: [tex3]r:(x,y,z)=(-5,2,3)+\lambda(1,-1,-1)[/tex3] com [tex3]\lambda\in\mathbb R[/tex3]
Equação paramétrica [tex3]r:\begin{cases}x=-5+\lambda\\y=2-\lambda\\z=3-\lambda\end{cases}[/tex3]
Equação simétrica: [tex3]r:\frac{x+5}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-1}[/tex3]
Para saber se [tex3]D=(3,1,4)[/tex3] pertence a [tex3]r[/tex3] vamos usar a equação simétrica, mas qualquer uma delas pode ser usada.
[tex3]x=3\implies\frac{x+5}{1}=8[/tex3]
[tex3]y=1\implies\frac{y-2}{-1}=1\ne8[/tex3]
[tex3]\therefore D\notin r[/tex3]
b)Para que os pontos [tex3]A[/tex3] , [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] sejam vértices de um triângulo basta que eles não sejam todos colineares. Então temos que mostrar que [tex3]A\notin r[/tex3] . Para isso, vamos novamente usar a equação simétrica.
[tex3]A=(3,6,-7)\\x=3\implies\frac{x+5}{1}=8\\y=6\implies\frac{y-2}{-1}=-4\ne8[/tex3]
[tex3]\therefore A\notin r[/tex3]
c) A mediana passa pelo ponto [tex3]C[/tex3] e pelo ponto médio do lado [tex3]AB[/tex3] .
Vamos encontrar o ponto médio: [tex3]M=\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\frac{z_A+z_B}2\right)\\M=(-1,4,-2)[/tex3]
O vetor [tex3]\vec{MC}[/tex3] é um vetor diretor da reta que procuramos.
[tex3]\vec{MC}=(4-(-1),-7-4,-6-(-2))=(5,-11,-4)[/tex3]
Portanto, temos que as equações paramétricas são:
[tex3]\begin{cases}x=4+5\mu\\y=-7-11\mu\\z=-6-4\mu\end{cases}[/tex3]
Espero ter ajduado .
a) Seja [tex3]r[/tex3] a reta que passa pelos pontos [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] . Para determinar sua equação precisamos de um ponto e um vetor diretor.
[tex3]B,C\in r[/tex3] então o vetor [tex3]\vec{BC}[/tex3] é um vetor diretor da reta.
[tex3]\vec{BC}=(4-(-5),-7-2,-6-3)=(9,-9,-9)=9(1,-1,-1)[/tex3]
Como o vetor [tex3]\vec{BC}[/tex3] é um múltiplo do vetor [tex3](1,-1,-1)[/tex3] temos que esse vetor também é um vetor diretor de [tex3]r[/tex3] .
Dessa forma, já podemos escrever as equações da reta.
Equação vetorial: [tex3]r:(x,y,z)=(-5,2,3)+\lambda(1,-1,-1)[/tex3] com [tex3]\lambda\in\mathbb R[/tex3]
Equação paramétrica [tex3]r:\begin{cases}x=-5+\lambda\\y=2-\lambda\\z=3-\lambda\end{cases}[/tex3]
Equação simétrica: [tex3]r:\frac{x+5}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-1}[/tex3]
Para saber se [tex3]D=(3,1,4)[/tex3] pertence a [tex3]r[/tex3] vamos usar a equação simétrica, mas qualquer uma delas pode ser usada.
[tex3]x=3\implies\frac{x+5}{1}=8[/tex3]
[tex3]y=1\implies\frac{y-2}{-1}=1\ne8[/tex3]
[tex3]\therefore D\notin r[/tex3]
b)Para que os pontos [tex3]A[/tex3] , [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] sejam vértices de um triângulo basta que eles não sejam todos colineares. Então temos que mostrar que [tex3]A\notin r[/tex3] . Para isso, vamos novamente usar a equação simétrica.
[tex3]A=(3,6,-7)\\x=3\implies\frac{x+5}{1}=8\\y=6\implies\frac{y-2}{-1}=-4\ne8[/tex3]
[tex3]\therefore A\notin r[/tex3]
c) A mediana passa pelo ponto [tex3]C[/tex3] e pelo ponto médio do lado [tex3]AB[/tex3] .
Vamos encontrar o ponto médio: [tex3]M=\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\frac{z_A+z_B}2\right)\\M=(-1,4,-2)[/tex3]
O vetor [tex3]\vec{MC}[/tex3] é um vetor diretor da reta que procuramos.
[tex3]\vec{MC}=(4-(-1),-7-4,-6-(-2))=(5,-11,-4)[/tex3]
Portanto, temos que as equações paramétricas são:
[tex3]\begin{cases}x=4+5\mu\\y=-7-11\mu\\z=-6-4\mu\end{cases}[/tex3]
Espero ter ajduado .
Saudações.
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