Observe
Uma solução:
Fazendo a interseção de y = 2 com x = √( 8 - y² ), fica;
x = √4 → x = 2
Logo, temos a reta y = x, passando para coordenadas polares vem;
rsenθ = rcosθ
tgθ = 1 → θ = π/4
Por outro lado, tomando a reta y = 2 e passando para coordenadas polares, fica;
rsenθ = 2 → r = 2cossecθ
Ainda;
x² + y² = 8
Em coordenadas polares;
r².1 = 8
r = 2√2
Obs. √( x² + y² ) = r.
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Pronto! Com os dados acima ( cálculos ) e analisando o gráfico, podemos extrair os limites de integração, ou melhor , a soma das duas integrais duplas com os seus respectivos limites de integração, temos:
[tex3]\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2cossec\theta }r^2drd\theta \ + \ \int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}r^2drd\theta =\frac{4}{3}\left(\sqrt{2}+ln|\sqrt{2}+1|+π\sqrt{2}\right)[/tex3]
Achei essa resposta no formato acima mais elegante .Agora ficou fácil, dá para você concluir
Nota
[tex3]\int\limits_{}^{}cossec^n(\theta) d\theta =-\frac{cossec^{n-2}(\theta ).cotg(\theta )}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}.\int\limits_{}^{}cossec^{n-2}(\theta )d\theta [/tex3]
, n ≥ 2.
e
[tex3]\int\limits_{}^{}cossec(\theta) d\theta = - ln|cossec(\theta)+cotg(\theta )|+C [/tex3]
Bons estudos!