Ensino SuperiorIntegrais Duplas Tópico resolvido

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jrneliodias
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Fev 2019 26 15:57

Integrais Duplas

Mensagem não lida por jrneliodias »

Resolva a integral

[tex3]\int _0^2 \int _0^\sqrt{8-y^2}\sqrt{x^2+y^2}dxdy[/tex3]
Resposta

8.98463



Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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Cardoso1979
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Fev 2019 27 13:58

Re: Integrais Duplas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Fazendo a interseção de y = 2 com x = √( 8 - y² ), fica;

x = √4 → x = 2

Logo, temos a reta y = x, passando para coordenadas polares vem;

rsenθ = rcosθ

tgθ = 1 → θ = π/4


Por outro lado, tomando a reta y = 2 e passando para coordenadas polares, fica;

rsenθ = 2 → r = 2cossecθ


Ainda;

x² + y² = 8

Em coordenadas polares;

r².1 = 8

r = 2√2

Obs. √( x² + y² ) = r.
1551284644793691887131043532182.jpg
1551284644793691887131043532182.jpg (40.32 KiB) Exibido 113 vezes



Pronto! Com os dados acima ( cálculos ) e analisando o gráfico, podemos extrair os limites de integração, ou melhor , a soma das duas integrais duplas com os seus respectivos limites de integração, temos:

[tex3]\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2cossec\theta }r^2drd\theta \ + \ \int\limits_{0}^{\frac{π}{4}}\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}r^2drd\theta =\frac{4}{3}\left(\sqrt{2}+ln|\sqrt{2}+1|+π\sqrt{2}\right)[/tex3]

Achei essa resposta no formato acima mais elegante .Agora ficou fácil, dá para você concluir 👍


Nota

[tex3]\int\limits_{}^{}cossec^n(\theta) d\theta =-\frac{cossec^{n-2}(\theta ).cotg(\theta )}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}.\int\limits_{}^{}cossec^{n-2}(\theta )d\theta [/tex3] , n ≥ 2.

e

[tex3]\int\limits_{}^{}cossec(\theta) d\theta = - ln|cossec(\theta)+cotg(\theta )|+C [/tex3]



Bons estudos!




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