Dado o triângulo ABC, tome D na reta BC tal que C seja o ponto médio
de BD e Y na reta AC tal que as retas AD e BY sejam paralelas. Exprima
AY(vetor) em função de BA(vetor), BC(vetor) e mostre que C é o ponto médio de AY(vetor).
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Combinação Linear
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joaopcarv
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Mar 2019
16
17:44
Re: Geometria Analítica - Combinação Linear
Usaremos um rascunho auxiliar, já com todos os elementos que usaremos:
Por hipótese, temos as informações:
[tex3]\circ[/tex3] Todos os elementos estão num mesmo plano [tex3]\pi[/tex3] ;
[tex3]\mathsf{\circ \ \triangle ABC}[/tex3] é um triângulo, logo seus lados [tex3]\mathsf{\vec{AB}, \ \vec{BC}, \ \vec{AC}}[/tex3] são linearmente independentes entre si quando tomados [tex3]\mathsf{2}[/tex3] a [tex3]\mathsf{2}[/tex3] ;
[tex3]\mathsf{\circ \ \vec{AY}, \ \vec{BD}}[/tex3] são prolongamentos de [tex3]\mathsf{\vec{AC}, \vec{BC}}[/tex3] (respectivamente);
[tex3]\circ[/tex3] Sendo [tex3]\mathsf{C}[/tex3] o ponto médio do vetor [tex3]\mathsf{\vec{BD}}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{\vec{CD} \ = \ \vec{BC}}[/tex3] ;
[tex3]\mathsf{\circ \ \vec{AD}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] são paralelos, logo são múltiplos: [tex3]\mathsf{\vec{BY} \ = \ \alpha \cdot \vec{BD}, \ \alpha \ \in \ \mathbb{R}}[/tex3] .
Lembrando que [tex3]\mathsf{\vec{JN} \ = \ - \vec{NJ}}[/tex3] , exprimindo [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{\vec{AY} = \ \underbrace{\vec{-BA}}_{\vec{AB}} \ + \ \vec{BY}}[/tex3]
Mas como [tex3]\mathsf{\vec{BY} \ = \ \alpha\cdot\vec{AD}}[/tex3] , sendo [tex3]\mathsf{\vec{AD} \ = \ -\vec{BA} \ + \ \underbrace{2\cdot\vec{BC}}_{\vec{BD}}}[/tex3] , então:
[tex3]\mathsf{\vec{AY} = \ -\vec{BA} \ + \ \cancelto{\alpha\cdot \big(-\vec{BA} \ + \ 2\cdot \vec{BC}\big)}{\vec{BY}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{\vec{AY} \ = \ -\vec{BA} \cdot (\alpha \ + \ 1) \ + \ 2\cdot \vec{BC}}}[/tex3]
Agora precisamos determinar o coeficiente [tex3]\alpha[/tex3] , e para isso, usaremos mais um vetor, [tex3]\mathsf{\vec{DY}}[/tex3] .
Sabendo que tanto [tex3]\mathsf{-\vec{BA} \ + \ \vec{BY}}[/tex3] quanto [tex3]\mathsf{\vec{AD} \ + \ \vec{DY}}[/tex3] somam [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] , sendo [tex3]\mathsf{\vec{BY} \ = \ \alpha\cdot \vec{AD}}[/tex3] , ou seja, sendo tais vetores múltiplos (paralelos), temos que um é a transladação do outro no plano [tex3]\pi[/tex3] , e portanto, para que as somas vetoriais sejam ambas iguais a [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] , [tex3]\mathsf{-\vec{BA}, \vec{DY}}[/tex3] ambos também têm que ser múltiplos (paralelos), associados por uma razão [tex3]\mathsf{\beta \ \in \ \mathbb{R}\ : \ \vec{DY} \ = \ \beta\cdot-\vec{BA}}[/tex3] . Assim, esses vetores serão também a transladação um do outro no plano [tex3]\pi[/tex3] , conservando a soma vetorial.
Logo, [tex3]\mathsf{-\vec{BA} \ + \ \underbrace{\alpha\cdot \vec{AD}}_{BY} \ = \ \vec{AY} \ = \ \vec{AD} \ + \ \underbrace{\beta \cdot -\vec{BA}}_{\vec{DY}}}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{(\alpha \ - \ 1)\cdot \vec{AD} \ = \ (1 \ - \ \beta)\cdot \vec{BA}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{(\alpha \ - \ 1)\cdot \vec{AD} \ + \ (\beta \ - \ 1)\cdot \vec{BA} \ = \ \vec{0}}[/tex3]
Mas [tex3]\mathsf{-\vec{BA}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\vec{AD}}[/tex3] são linearmente independentes, pois [tex3]\mathsf{\vec{AD}}[/tex3] é a junção do vértice [tex3]\mathsf{A}[/tex3] do [tex3]\mathsf{\triangle ABC}[/tex3] ao prolongamento de um de seus lados, [tex3]\mathsf{\vec{BC} \neq -\vec{BA}}[/tex3] .
Então, para tal combinação [tex3]\mathsf{(\alpha \ - \ 1)\cdot \vec{AD} \ + \ (\beta \ - \ 1)\cdot \vec{BA} \ = \ \vec{0}, \ \alpha \ - \ 1\ = \ 0, \ \beta \ - \ 1 = \ 0 \ \therefore \boxed{\mathsf{\alpha \ = \ \beta \ = \ 1}}}[/tex3]
Substituindo, temos: [tex3]{\boxed{\mathsf{\vec{AY} \ = \ -2\cdot \vec{BA} \ + \ 2\cdot \vec{BC} = \ 2\cdot \big(-\vec{BA} \ + \ \vec{BC}\big)}}}[/tex3]
E, sabendo que [tex3]\mathsf{-\vec{BA} \ + \ \vec{BC} = \ \vec{AC}}[/tex3] (combinação linear de um triângulo), então:
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\vec{AY} \ = \ 2\cdot \vec{AC}}}}[/tex3] , logo [tex3]\mathsf{C}[/tex3] é ponto médio de [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] .
- Vetores.jpg (28.89 KiB) Exibido 924 vezes
[tex3]\circ[/tex3] Todos os elementos estão num mesmo plano [tex3]\pi[/tex3] ;
[tex3]\mathsf{\circ \ \triangle ABC}[/tex3] é um triângulo, logo seus lados [tex3]\mathsf{\vec{AB}, \ \vec{BC}, \ \vec{AC}}[/tex3] são linearmente independentes entre si quando tomados [tex3]\mathsf{2}[/tex3] a [tex3]\mathsf{2}[/tex3] ;
[tex3]\mathsf{\circ \ \vec{AY}, \ \vec{BD}}[/tex3] são prolongamentos de [tex3]\mathsf{\vec{AC}, \vec{BC}}[/tex3] (respectivamente);
[tex3]\circ[/tex3] Sendo [tex3]\mathsf{C}[/tex3] o ponto médio do vetor [tex3]\mathsf{\vec{BD}}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{\vec{CD} \ = \ \vec{BC}}[/tex3] ;
[tex3]\mathsf{\circ \ \vec{AD}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] são paralelos, logo são múltiplos: [tex3]\mathsf{\vec{BY} \ = \ \alpha \cdot \vec{BD}, \ \alpha \ \in \ \mathbb{R}}[/tex3] .
Lembrando que [tex3]\mathsf{\vec{JN} \ = \ - \vec{NJ}}[/tex3] , exprimindo [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{\vec{AY} = \ \underbrace{\vec{-BA}}_{\vec{AB}} \ + \ \vec{BY}}[/tex3]
Mas como [tex3]\mathsf{\vec{BY} \ = \ \alpha\cdot\vec{AD}}[/tex3] , sendo [tex3]\mathsf{\vec{AD} \ = \ -\vec{BA} \ + \ \underbrace{2\cdot\vec{BC}}_{\vec{BD}}}[/tex3] , então:
[tex3]\mathsf{\vec{AY} = \ -\vec{BA} \ + \ \cancelto{\alpha\cdot \big(-\vec{BA} \ + \ 2\cdot \vec{BC}\big)}{\vec{BY}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{\vec{AY} \ = \ -\vec{BA} \cdot (\alpha \ + \ 1) \ + \ 2\cdot \vec{BC}}}[/tex3]
Agora precisamos determinar o coeficiente [tex3]\alpha[/tex3] , e para isso, usaremos mais um vetor, [tex3]\mathsf{\vec{DY}}[/tex3] .
Sabendo que tanto [tex3]\mathsf{-\vec{BA} \ + \ \vec{BY}}[/tex3] quanto [tex3]\mathsf{\vec{AD} \ + \ \vec{DY}}[/tex3] somam [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] , sendo [tex3]\mathsf{\vec{BY} \ = \ \alpha\cdot \vec{AD}}[/tex3] , ou seja, sendo tais vetores múltiplos (paralelos), temos que um é a transladação do outro no plano [tex3]\pi[/tex3] , e portanto, para que as somas vetoriais sejam ambas iguais a [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] , [tex3]\mathsf{-\vec{BA}, \vec{DY}}[/tex3] ambos também têm que ser múltiplos (paralelos), associados por uma razão [tex3]\mathsf{\beta \ \in \ \mathbb{R}\ : \ \vec{DY} \ = \ \beta\cdot-\vec{BA}}[/tex3] . Assim, esses vetores serão também a transladação um do outro no plano [tex3]\pi[/tex3] , conservando a soma vetorial.
Logo, [tex3]\mathsf{-\vec{BA} \ + \ \underbrace{\alpha\cdot \vec{AD}}_{BY} \ = \ \vec{AY} \ = \ \vec{AD} \ + \ \underbrace{\beta \cdot -\vec{BA}}_{\vec{DY}}}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{(\alpha \ - \ 1)\cdot \vec{AD} \ = \ (1 \ - \ \beta)\cdot \vec{BA}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{(\alpha \ - \ 1)\cdot \vec{AD} \ + \ (\beta \ - \ 1)\cdot \vec{BA} \ = \ \vec{0}}[/tex3]
Mas [tex3]\mathsf{-\vec{BA}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\vec{AD}}[/tex3] são linearmente independentes, pois [tex3]\mathsf{\vec{AD}}[/tex3] é a junção do vértice [tex3]\mathsf{A}[/tex3] do [tex3]\mathsf{\triangle ABC}[/tex3] ao prolongamento de um de seus lados, [tex3]\mathsf{\vec{BC} \neq -\vec{BA}}[/tex3] .
Então, para tal combinação [tex3]\mathsf{(\alpha \ - \ 1)\cdot \vec{AD} \ + \ (\beta \ - \ 1)\cdot \vec{BA} \ = \ \vec{0}, \ \alpha \ - \ 1\ = \ 0, \ \beta \ - \ 1 = \ 0 \ \therefore \boxed{\mathsf{\alpha \ = \ \beta \ = \ 1}}}[/tex3]
Substituindo, temos: [tex3]{\boxed{\mathsf{\vec{AY} \ = \ -2\cdot \vec{BA} \ + \ 2\cdot \vec{BC} = \ 2\cdot \big(-\vec{BA} \ + \ \vec{BC}\big)}}}[/tex3]
E, sabendo que [tex3]\mathsf{-\vec{BA} \ + \ \vec{BC} = \ \vec{AC}}[/tex3] (combinação linear de um triângulo), então:
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\vec{AY} \ = \ 2\cdot \vec{AC}}}}[/tex3] , logo [tex3]\mathsf{C}[/tex3] é ponto médio de [tex3]\mathsf{\vec{AY}}[/tex3] .
Editado pela última vez por joaopcarv em 21 Fev 2022, 03:21, em um total de 1 vez.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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