Ensino Superior(Cambridge-1802) Sequências e Limites Tópico resolvido

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Planck
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Fev 2019 20 10:36

(Cambridge-1802) Sequências e Limites

Mensagem não lida por Planck » Qua 20 Fev, 2019 10:36

Encontre a soma da seguinte sequência:

[tex3]\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...[/tex3]

Observação

Consegui chegar na resposta, mas não sei se está correto o modo que fiz.
Primeiro, desenvolvi algumas frações para tentar encontrar um padrão

[tex3]\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...[/tex3]

Encontrei o seguinte padrão

[tex3]\frac{1}{2}.\frac{1}{1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{1}{6}+\frac{1}{2}.\frac{1}{10}+...[/tex3]

Portanto, podemos colocar [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] em evidência, logo

[tex3]\frac{1}{2}.\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+...\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}\right)[/tex3]

Nesse ponto, nota-se que o "enésimo" termo é [tex3]\frac{2}{n(n+1)}[/tex3] ou [tex3]2.\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)[/tex3]
Assim, para cada termo [tex3]\frac{1}{n}[/tex3] teremos seu oposto [tex3]-\frac{1}{n}[/tex3] , pois
[tex3]n=1[/tex3]
[tex3]2.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}\right)[/tex3]
[tex3]n=2[/tex3]
[tex3]2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}\right)[/tex3]
[tex3]n=3[/tex3]
[tex3]2.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}\right)[/tex3]

Logo, somente [tex3]\frac{1}{1}[/tex3] não será cancelado com seu oposto e, assim

[tex3]\frac{1}{2}.\left[2.\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\right][/tex3]

Se o limite de "n" tende ao infinito, temos

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}1-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n+1}[/tex3]
[tex3]1-0=1[/tex3]

Portanto,
[tex3]\frac{1}{2}.[2.(1)]=1[/tex3]
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MateusQqMD
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Fev 2019 20 10:59

Re: (Cambridge-1802) Sequências e Limites

Mensagem não lida por MateusQqMD » Qua 20 Fev, 2019 10:59

É isso mesmo, mas você não precisa colocar nada em evidência

Sabendo que [tex3]\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}[/tex3]

Temos,

[tex3]\frac{1}{1\cdot2} = 1 - \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2\cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{3\cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}[/tex3]

...

[tex3]\frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}[/tex3]

Somando tudo,

[tex3]\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4} + \,...\, +\frac{1}{(k-1)k} = 1 - \frac{1}{k}[/tex3]

Última edição: MateusQqMD (Qua 20 Fev, 2019 11:20). Total de 1 vez.
Razão: erro de digitação



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