demonstração LD - geoemtria analítica e álgebra linear
Enviado: Seg 18 Fev, 2019 16:23
prove que [tex3]\vec{u}-\vec{2v}+\vec{w}, \vec{2u}-\vec{v}+\vec{3w}[/tex3]
é LD quaisquer que sejam os vetores [tex3]\vec{u}, \vec{v},\vec{w}[/tex3]
Vamos supor que seja LI.
Escrevendo a combinação lineares dos vetores pedidos.
[tex3]\alpha \(\vec{u}-\vec{2v}+\vec{w}\)+\beta\( \vec{2u}-\vec{v}+\vec{3w}\)=0[/tex3]
[tex3]\(\alpha+2\beta\)\vec{u}+\(-2\alpha - \beta\)\vec{v}+\(\alpha+3\beta\)\vec{w}=0[/tex3]
Para que o conjunto de vetores seja LI, [tex3]\alpha[/tex3]
e [tex3]\beta[/tex3]
devem ser nulos.
Vamos tentar achar um contra exemplo. Seja [tex3]\alpha=-2\beta[/tex3]
Daí, a combinação linear fica da seguinte forma:
[tex3]\(3\beta\)\vec{v}+\(\beta\)\vec{w}=0[/tex3]
[tex3]\beta\( 3\vec{v} + \vec{w} \)=0[/tex3]
Neste caso, basta que [tex3]\vec{v}[/tex3]
e [tex3]\vec{w}[/tex3]
sejam paralelos e a razão seja 3.
Deste modo, tem-se:
[tex3]\vec{w}=-3\vec{v}[/tex3]
Com isso, veja que existem infinitos valores de [tex3]\beta[/tex3]
que satisfazem o problema. Consequentemente, infinitos valores de [tex3]\alpha[/tex3]
também.
Isso é um ABSURDO! Haja vista que a suposição foi que os vetores seriam LI. Como achamos pelo menos um contra exemplo de que isso é um absurdo, a contrapositiva é verdadeira. Ou seja, o conjunto de vetores é LD para quaisquer valroes de u, v e w.