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Mensagem não lidapor **PNL123** » Dom 17 Fev, 2019 20:16 · Mensagem não lida por **PNL123** » Dom 17 Fev, 2019 20:16

Mostre que [tex3]e^x \ge 1+x,[/tex3] [tex3]x \in\mathbb{R}[/tex3]

acho que já tem no fórum, mas essa ai é bem simples

note que [tex3]f(x) = e^x -1-x \implies f'(x) = e^x -1[/tex3]
então
[tex3]f'(x) >0[/tex3] se [tex3]x>0[/tex3] e portanto [tex3]f[/tex3] é crescente a partir de [tex3]x=0[/tex3]
[tex3]f'(x) <0[/tex3] se [tex3]x<0[/tex3] e portanto [tex3]f[/tex3] é decrescente a partir de [tex3]x=0[/tex3]
portanto [tex3]f(x) > f(0)[/tex3] para todo [tex3]x \neq 0[/tex3]
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[tex3]e^x -1 - x > e^0-1 = 0[/tex3] para todo [tex3]x \neq 0[/tex3]
e [tex3]e^x -1-x = 0 \iff x=0[/tex3]
de onde [tex3]e^x \geq 1 + x[/tex3] com a igualdade ocorrendo apenas quando [tex3]x = 0[/tex3]
esse resultado simples é bem útil

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