Ensino Superior ⇒ Limites Tópico resolvido

[TioRafa]

Supondo 0 < a < 1, mostre que:

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}a^{k}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}a^{k}[/tex3]

= [tex3]\left(\frac{a}{1-a}\right)[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{a}{1-a}\right)[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Resolução:

[tex3]\sum_{k=1}^{n}a^k=\underbrace{a^1+a^2+a^3+...+a^n}_{\text{Soma da P.G. finita }} =a.\frac{1-a^n}{1-a}[/tex3]

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[tex3]\sum_{k=1}^{n}a^k=\underbrace{a^1+a^2+a^3+...+a^n}_{\text{Soma da P.G. finita }} =a.\frac{1-a^n}{1-a}[/tex3]

Como 0 < a < 1, então;

[tex3]\lim_{n \rightarrow +\infty}a^n=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n \rightarrow +\infty}a^n=0[/tex3]

, resulta que;

[tex3]\lim_{n \rightarrow+ \infty }\sum_{k=1}^{n}a^k=\lim_{n \rightarrow +\infty}a.\frac{1-a^n}{1-a}=a.\frac{1-0}{1-a}=\left(\frac{a}{1-a}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n \rightarrow+ \infty }\sum_{k=1}^{n}a^k=\lim_{n \rightarrow +\infty}a.\frac{1-a^n}{1-a}=a.\frac{1-0}{1-a}=\left(\frac{a}{1-a}\right)[/tex3]

c.q.m.


Nota

A P.G. acima tem razão q = a , onde 0 < a < 1 ou 0 < q < 1.



Bons estudos!