Ensino SuperiorLimites Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

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TioRafa
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Fev 2019 13 12:19

Limites

Mensagem não lida por TioRafa » Qua 13 Fev, 2019 12:19

d)[tex3]\lim_{x \rightarrow p}[/tex3] [tex3]\left(\frac{secx - secp}{x-p}\right)[/tex3]
Resposta

d) secp tgp




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Cardoso1979
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Fev 2019 13 14:12

Re: Limites

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Qua 13 Fev, 2019 14:12

Observe

[tex3]\lim_{x \rightarrow p}\left(\frac{secx - secp}{x-p}\right)=[/tex3]

Solução:

Note que;

sec (x) - sec (p) = [tex3]\frac{1}{cos (x)}-\frac{1}{cos (p)}=\frac{cos(p)-cos (x)}{cos (x).cos(p)}=-\frac{cos(x)-cos (p)}{cos (x).cos(p)}[/tex3]

Mas, já sabemos que cos (x) - cos (p) = [tex3]-2.sen\frac{x+p}{2}.sen\frac{x-p}{2}[/tex3] . Assim;

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}2\frac{sen\frac{x+p}{2}.sen\frac{x-p}{2}}
{cos (x).cos (p).(x-p)}=[/tex3]

Dividindo numerador e denominador por dois ( 2 ) , resulta;

[tex3]\left(\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{sen\left(\frac{x+p}{2}\right)}{cos(x).cos (p)}\right).\left(\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{sen\left(\frac{x-p}{2}\right)}{\frac{x-p}{2}}\right)=[/tex3]

Pelo limite fundamental trigonométrico, resulta que;

[tex3]\frac{sen\left(\frac{p+p}{2}\right)}{cos (p).cos(p)}.1=\frac{sen\ (p)}{cos \ (p)}.\frac{1}{cos \ (p)}[/tex3] = tg (p).sec (p).


Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow p}\left(\frac{secx - secp}{x-p}\right)=sec (p).tg(p)[/tex3]


Nota

Usando a regra de L'HOPITAL ( pois há uma indeterminação do tipo 0/0 ) , temos que , derivando numerador e denominador, resulta;

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}sec(x).tg (x)[/tex3] = sec (p).tg (p)



Bons estudos!




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