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Limites
Enviado: Ter 12 Fev, 2019 22:05
por TioRafa
Seja [tex3]f(x) = x+\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]
. Prove:
A) [tex3]|f(x)-f(1)| \le \(1+\frac{1}{x}\)|x-1|[/tex3]
para [tex3]x>0[/tex3]
B) [tex3]|f(x)-f(1)| ≤ 3|x-1|[/tex3]
para [tex3]x>1/2[/tex3]
C) [tex3]f[/tex3]
é contínua em [tex3]p=1[/tex3]
Re: Limites
Enviado: Qua 29 Jan, 2020 20:49
por Cardoso1979
Observe
Uma prova:
A) Temos que
[tex3]|f(x)-f(1)|=\left|x+\frac{1}{x}-\left(1+\frac{1}{1}\right)\right|=\left| x +\frac{1}{x}-2\right|[/tex3]
[tex3]|f(x)-f(1)|=\left|\frac{x^2-2x+1}{x}\right|=\left|\frac{(x-1)^2}{x}\right|=\left|\frac{x-1}{x}\right||x-1|=\left|1-\frac{1}{x}\right||x-1|[/tex3]
Quando x > 0 , temos que [tex3]1-\frac{1}{x} > 0 [/tex3]
então [tex3]\left|1-\frac{1}{x}\right|≤ \left(1+\frac{1}{x}\right)[/tex3]
E assim,
[tex3]\left|1-\frac{1}{x}\right|.|x-1|≤ \left(1+\frac{1}{x}\right).|x-1|[/tex3]
E como
[tex3]|f(x)-f(1)|=\left|1-\frac{1}{x}\right|.|x-1|[/tex3]
[tex3]\left|1-\frac{1}{x}\right|.|x-1|=|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|[/tex3]
Provamos então que [tex3]|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|[/tex3]
.
B) Como provamos que [tex3]|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|[/tex3]
e temos agora que [tex3]x > \frac{1}{2}[/tex3]
, então:
[tex3]x > \frac{1}{2}⇒ \frac{1}{x}<2⇒1+\frac{1}{x} < 1+2⇒\left(1+\frac{1}{x}\right) < 3⇒\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|<3|x-1|[/tex3]
Se [tex3]|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|[/tex3]
, daí;
[tex3]|f(x)-f(1)|≤\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|<3|x-1| [/tex3]
.
Logo, provamos que: [tex3]|f(x)-f(1)|≤3|x-1| [/tex3]
.
C) Para f ser contínua em p = 1 , temos que para um valor ε > 0 e tomando δ como sendo o menor valor entre [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
e [tex3]\frac{\varepsilon }{3}[/tex3]
, podemos afirmar que | x - 1 | < δ ⇒ | f( x ) - f( 1 ) | < ε , e , portanto , f é contínua em p = 1. C.q.p.
Bons estudos!