Ensino Superior ⇒ Campo conservativo Tópico resolvido

[BarbosaV]

Seja [tex3]\vec{F}: \Omega \subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}[/tex3]

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[tex3]\vec{F}: \Omega \subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}[/tex3]

. Prove que uma condição necessária para que [tex3]\vec{F}[/tex3]

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[tex3]\vec{F}[/tex3]

seja conservativo é que [tex3]\int\limits_{\gamma }^{} \vec{F}d\vec{r}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{\gamma }^{} \vec{F}d\vec{r}[/tex3]

=0 para toda curva [tex3]\gamma [/tex3]

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[tex3]\gamma [/tex3]

fechada, c1 por partes, com imagem contida em [tex3]\Omega [/tex3]

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[tex3]\Omega [/tex3]

.

[Cardoso1979]

Observe

Prova:

Se [tex3]\gamma [/tex3]

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[tex3]\gamma [/tex3]

é uma curva fechada em Ω parametrizada por r( t ) , com a ≤ t ≤ b , r( a ) = r( b ) e [tex3]\vec{F}=\bigtriangledown f [/tex3]

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[tex3]\vec{F}=\bigtriangledown f [/tex3]

, então [tex3]\int\limits_{\gamma }^{} \vec{F}.d\vec{r}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{\gamma }^{} \vec{F}.d\vec{r}[/tex3]

= f( r( a ) ) - f( r( b ) ) = 0. c.q.p.


Bons estudos!