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Área sombreada
Enviado: Qua 06 Fev, 2019 12:33
por Hanon
O gráfico representa a função [tex3]f(x)=cos(x)[/tex3]
no intervalo [tex3]\[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\][/tex3]
. A reta [tex3]s[/tex3]
é paralela ao eixo das abscissas e a reta [tex3]r[/tex3]
é tangente ao gráfico da função [tex3]f[/tex3]
em [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3]
.
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A área sombreada é igual a:
a) [tex3]\frac{\pi-3}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\pi-1}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\pi+1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\pi+3}{2}[/tex3]
Re: Área sombreada
Enviado: Qua 06 Fev, 2019 20:08
por Cardoso1979
Observe
Uma solução:
A equação da reta r tangente em ( π/2 , f( π/2 ) ) é:
y - f( π/2 ) = f'( π/2 ). [ x - ( π/2 ) ]
Então;
{ f(π/2) = cos (π/2) = 0
{ f'(π/2) = - sen (π/2) = - 1
Logo,
y - 0 = - 1.[ x - (π/2) ]
r : y = - x + (π/2)
Fazendo a interseção de s com r, temos:
1 = - x + ( π/2 )
x = ( π - 2 )/2
Daí;
( ( π - 2 )/2 , 1 ) → ( ponto de intersecção de s com r ).
Assim;
[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π-2}{2}}[1-cos(x)]dx+\int\limits_{\frac{π-2}{2}}^{\frac{π}{2}}[-x+\frac{π}{2}-cos (x)]dx=[/tex3]
[tex3]A=-1+\frac{π}{2}-cos(1)+cos(1)-\frac{1}{2}[/tex3]
Portanto,
[tex3]A=\frac{π-3}{2}[/tex3]
u.a., alternativa a).
Nota
Usei integrais , não sei se era o objetivo da questão!
Bons estudos!
Re: Área sombreada
Enviado: Qua 06 Fev, 2019 21:05
por erihh3
A ideia é fazer a área do trapézio formado pelas retas e eixos e subtrair da área da função cosseno no intervalo de [tex3]\[0,\frac{\pi}{2}\][/tex3]
.
Daí,
Vamos determinar, primeiro, o ponto [tex3]P[/tex3]
de intersecção das retas [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
.
Determinando equação da reta r:
1) No ponto [tex3]x=\pi/2[/tex3]
, [tex3]\cos x[/tex3]
é nulo. Já que a reta [tex3]r[/tex3]
tangência essa função nesse mesmo ponto, a reta também será nula nesse ponto.
2) A derivada da função [tex3]f[/tex3]
é [tex3]f'(x)=-\sen x[/tex3]
. No ponto [tex3]x=\pi/2[/tex3]
, [tex3]f'(1)=-1[/tex3]
, que é o coeficiente angular da reta r.
Deste modo,
[tex3]r: y=-x+\pi/2[/tex3]
A reta s é tranquila e sua equação é [tex3]s:y=1[/tex3]
Determinando o ponto de intersecção:
[tex3]1=-x+\pi/2[/tex3]
[tex3]x=\pi/2-1[/tex3]
Vamos determinar, agora, a área do trapézio:
[tex3]A_T=\frac{[(\pi/2-1)+(\pi/2)]\cdot 1}{2}[/tex3]
[tex3]A_T=\frac{\pi-1}{2}[/tex3]
Área da função cosseno:
[tex3]A_f=\int_0^{\pi/2} \cos x\; dx[/tex3]
[tex3]A_f=1[/tex3]
Deste modo,
[tex3]A=A_t-A_f[/tex3]
[tex3]A=\frac{\pi-1}{2}-1[/tex3]
[tex3]A=\frac{\pi-3}{2}[/tex3]
Re: Área sombreada
Enviado: Qui 07 Fev, 2019 04:05
por Hanon
Muito obrigado
Cardoso1979 e
erihh3, se eu pudesse daria solução aceita para os dois.
