O gráfico representa a função [tex3]f(x)=cos(x)[/tex3]
A área sombreada é igual a:
a) [tex3]\frac{\pi-3}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\pi-1}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\pi+1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\pi+3}{2}[/tex3]
no intervalo [tex3]\[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\][/tex3]
. A reta [tex3]s[/tex3]
é paralela ao eixo das abscissas e a reta [tex3]r[/tex3]
é tangente ao gráfico da função [tex3]f[/tex3]
em [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3]
.Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Área sombreada Tópico resolvido
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Fev 2019
06
20:08
Re: Área sombreada
Observe
Uma solução:
A equação da reta r tangente em ( π/2 , f( π/2 ) ) é:
y - f( π/2 ) = f'( π/2 ). [ x - ( π/2 ) ]
Então;
{ f(π/2) = cos (π/2) = 0
{ f'(π/2) = - sen (π/2) = - 1
Logo,
y - 0 = - 1.[ x - (π/2) ]
r : y = - x + (π/2)
Fazendo a interseção de s com r, temos:
1 = - x + ( π/2 )
x = ( π - 2 )/2
Daí;
( ( π - 2 )/2 , 1 ) → ( ponto de intersecção de s com r ).
Assim;
[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π-2}{2}}[1-cos(x)]dx+\int\limits_{\frac{π-2}{2}}^{\frac{π}{2}}[-x+\frac{π}{2}-cos (x)]dx=[/tex3]
[tex3]A=-1+\frac{π}{2}-cos(1)+cos(1)-\frac{1}{2}[/tex3]
Portanto,
[tex3]A=\frac{π-3}{2}[/tex3] u.a., alternativa a).
Nota
Usei integrais , não sei se era o objetivo da questão!
Bons estudos!
Uma solução:
A equação da reta r tangente em ( π/2 , f( π/2 ) ) é:
y - f( π/2 ) = f'( π/2 ). [ x - ( π/2 ) ]
Então;
{ f(π/2) = cos (π/2) = 0
{ f'(π/2) = - sen (π/2) = - 1
Logo,
y - 0 = - 1.[ x - (π/2) ]
r : y = - x + (π/2)
Fazendo a interseção de s com r, temos:
1 = - x + ( π/2 )
x = ( π - 2 )/2
Daí;
( ( π - 2 )/2 , 1 ) → ( ponto de intersecção de s com r ).
Assim;
[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π-2}{2}}[1-cos(x)]dx+\int\limits_{\frac{π-2}{2}}^{\frac{π}{2}}[-x+\frac{π}{2}-cos (x)]dx=[/tex3]
[tex3]A=-1+\frac{π}{2}-cos(1)+cos(1)-\frac{1}{2}[/tex3]
Portanto,
[tex3]A=\frac{π-3}{2}[/tex3] u.a., alternativa a).
Nota
Usei integrais , não sei se era o objetivo da questão!
Bons estudos!
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Fev 2019
06
21:05
Re: Área sombreada
A ideia é fazer a área do trapézio formado pelas retas e eixos e subtrair da área da função cosseno no intervalo de [tex3]\[0,\frac{\pi}{2}\][/tex3]
Daí,
Vamos determinar, primeiro, o ponto [tex3]P[/tex3] de intersecção das retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] .
Determinando equação da reta r:
1) No ponto [tex3]x=\pi/2[/tex3] , [tex3]\cos x[/tex3] é nulo. Já que a reta [tex3]r[/tex3] tangência essa função nesse mesmo ponto, a reta também será nula nesse ponto.
2) A derivada da função [tex3]f[/tex3] é [tex3]f'(x)=-\sen x[/tex3] . No ponto [tex3]x=\pi/2[/tex3] , [tex3]f'(1)=-1[/tex3] , que é o coeficiente angular da reta r.
Deste modo,
[tex3]r: y=-x+\pi/2[/tex3]
A reta s é tranquila e sua equação é [tex3]s:y=1[/tex3]
Determinando o ponto de intersecção:
[tex3]1=-x+\pi/2[/tex3]
[tex3]x=\pi/2-1[/tex3]
Vamos determinar, agora, a área do trapézio:
[tex3]A_T=\frac{[(\pi/2-1)+(\pi/2)]\cdot 1}{2}[/tex3]
[tex3]A_T=\frac{\pi-1}{2}[/tex3]
Área da função cosseno:
[tex3]A_f=\int_0^{\pi/2} \cos x\; dx[/tex3]
[tex3]A_f=1[/tex3]
Deste modo,
[tex3]A=A_t-A_f[/tex3]
[tex3]A=\frac{\pi-1}{2}-1[/tex3]
[tex3]A=\frac{\pi-3}{2}[/tex3]
.Daí,
Vamos determinar, primeiro, o ponto [tex3]P[/tex3] de intersecção das retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] .
Determinando equação da reta r:
1) No ponto [tex3]x=\pi/2[/tex3] , [tex3]\cos x[/tex3] é nulo. Já que a reta [tex3]r[/tex3] tangência essa função nesse mesmo ponto, a reta também será nula nesse ponto.
2) A derivada da função [tex3]f[/tex3] é [tex3]f'(x)=-\sen x[/tex3] . No ponto [tex3]x=\pi/2[/tex3] , [tex3]f'(1)=-1[/tex3] , que é o coeficiente angular da reta r.
Deste modo,
[tex3]r: y=-x+\pi/2[/tex3]
A reta s é tranquila e sua equação é [tex3]s:y=1[/tex3]
Determinando o ponto de intersecção:
[tex3]1=-x+\pi/2[/tex3]
[tex3]x=\pi/2-1[/tex3]
Vamos determinar, agora, a área do trapézio:
[tex3]A_T=\frac{[(\pi/2-1)+(\pi/2)]\cdot 1}{2}[/tex3]
[tex3]A_T=\frac{\pi-1}{2}[/tex3]
Área da função cosseno:
[tex3]A_f=\int_0^{\pi/2} \cos x\; dx[/tex3]
[tex3]A_f=1[/tex3]
Deste modo,
[tex3]A=A_t-A_f[/tex3]
[tex3]A=\frac{\pi-1}{2}-1[/tex3]
[tex3]A=\frac{\pi-3}{2}[/tex3]
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Fev 2019
07
04:05
Re: Área sombreada
Muito obrigado Cardoso1979 e erihh3, se eu pudesse daria solução aceita para os dois.
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