Ensino Superior

Um homem encontra-se na margem de um lago no ponto A. Ele deve chegar no período mais curto ao ponto B, que se encontra no lago. A distância do ponto B à margem é [tex3]BC=40m[/tex3] e a distância [tex3]AC=30m[/tex3]
A velocidade do homem na água é 1 m/s e na margem é 2 m/s. Como deve mover-se o homem?

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Resposta

O que eu fiz foi calcular [tex3]BA=50m[/tex3] e depois analisei que se ele andasse [tex3]AC+BC[/tex3] teria que gastar [tex3]15s [/tex3] em [tex3]AC [/tex3] e [tex3]40s [/tex3] em [tex3]BC[/tex3] totalizando [tex3]55s[/tex3]

Se fosse direto por [tex3]BA[/tex3] teria que gastar apenas 50s
Acontece que o gabarito está estranho e diz que [tex3]AD=30-\frac{40}{\sqrt{3}}[/tex3] e [tex3]DC=\frac{40}{\sqrt{3}}[/tex3]
Não entendi esse gabarito. Estou achando que foi erro de digitação.
Minha resposta está correta?

Eu vi a resolução de um problema similar em um livro de matemática que li há muito tempo. Tentarei encontrá-lo na bagunça da minha casa.

Mas, adiantando, repare que ele não quer o caminho mais curto, mas o que é feito em menor tempo. Se bem me lembro, a resposta envolve cálculo diferencial/integral.

eu entendo só o básico do básico de integral/derivada, mas irei tentar entender a resolução se vc encontrar

com a derivada você chega numa equação muito semelhante à Lei de Snell da luz. Se não me engano:

[tex3]n_1 \sen \theta = n_2 \implies \sen \theta = \frac12[/tex3]

então ele continua na terra até chegar no ponto X tal que a reta BX faz um ângulo de 30º com a vertical. Realmente só vi a prova disso com o básico de derivadas, escreve o tempo em função do ponto que ele sai da margem, deriva e iguala a zero

Bem, a função do tempo em relação à distância [tex3]x[/tex3] percorrida pela margem é:

[tex3]y=\frac{x}{2}+\sqrt{(30-x)^2+40^2}[/tex3]

Isso eu fiz ontem e até passou pela minha cabeça derivá-la, não por saber o que estava fazendo, mas por simples intuição. No entanto, além de não saber se a ideia estava correta, não sabia como derivar raiz quadrada.

Com a confirmação do sousóeu, procurei como fazê-lo e voilà.

[tex3]y=\frac{x}{2}+\sqrt{x^2+60x+2500}[/tex3]

[tex3]y'=\frac{1}{2}+\frac{x+30}{\sqrt{x^2+60x+2500}}[/tex3]

Fazendo [tex3]y'=0[/tex3] , chegasse a [tex3]x=-30-\frac{40}{\sqrt{3}}[/tex3] , que seria a resposta, se não fosse pelo sinal trocado do 30.

Mas é claro que nada disso explica a motivo de a derivação levar ao resultado que esperamos (quase). E, sinceramente, acho que isso também não tem no livro, que ainda estou procurando.

Ademais, vamos precisar apenas de mais uma ajudinha do sousóeu para entender, se o que fiz está correto e é suficiente, porque o valor deu negativo.

A função do tempo em relação à distância seria dizer que y=f(x) donde x é a distância e f(x) é o tempo?

A derivada do tempo seria para achar o mínimo é máximo dele em relação a distância?

O que eu não entendi é que fazendo isso teria apenas a distância em que ele percorre a margem AC, ele não deveria chegar até AB?

snooplammer escreveu: ↑
Qui 31 Jan, 2019 09:48
A função do tempo em relação à distância seria dizer que y=f(x) donde x é a distância e f(x) é o tempo?

A derivada do tempo seria para achar o mínimo é máximo dele em relação a distância?

Exato.

[tex3]x[/tex3] é a distância percorrida pela margem, antes do homem entrar no rio, e, [tex3]f(x)[/tex3] é função do tempo que leva de A até B.

A derivada do tempo seria para achar o mínimo é máximo dele em relação a distância?

Sua pergunta me fez pensar no conceito de derivada e é isso mesmo. Igualando a zero, estaremos no ponto mínimo, visto que nele a inclinação da tangente sobre a curva é zero. Bem... acho que seja isso...

snooplammer escreveu: ↑
Qui 31 Jan, 2019 09:56
O que eu não entendi é que fazendo isso teria apenas a distância em que ele percorre a margem AC, ele não deveria chegar até AB?

Não, não. Da física,

[tex3]t=\frac{d}{v}[/tex3]

Logo, ele levará [tex3]\frac{x}{2}[/tex3] segundos para andar [tex3]x[/tex3] metros pela margem. O restante da expressão, ou seja, [tex3]\sqrt{(30-x)^2+40^2}[/tex3] , refere ao tempo gasto para ir do ponto em que ele se encontrará na margem após andar [tex3]x[/tex3] metros até B, que nada mais é do que o comprimento da nova hipotenusa. Nesse caso, os valores de tempo e distância coincidem pois [tex3]v=1[/tex3] .

Ah sim... acho que entendi. Quando eu chegar em casa irei passar as ideias pro papel.
Obrigado

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