[tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3]
eu fiz essa questão mas tá errado, eu gostaria que alguém me ajudasse e se possível me recomendar algum material para eu aprender esse troço, estou tendo dificuldades com esse tipo de derivada e gostaria de saber como resolver sozinho.
ps: o que eu encontrei na internet até aqui em relação a esse tipo de derivada são exercicios menos complexos que esse
Ensino Superior ⇒ Derivada de Função Logarítmica Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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Jan 2019
30
09:52
Re: Derivada de Função Logarítmica
Observe
Uma solução:
Faça y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , então;
Aplicando ln a ambos os membros da igualdade, vem;
[tex3]ln \ y = ln \ x^{\sqrt{x}}[/tex3] →
[tex3]ln \ y = \sqrt{x}.ln \ x[/tex3] →
[tex3]y=e^{\sqrt{x}.ln \ x}[/tex3] ( l ) →
Derivando, fica;
[tex3]y'=[e^{\sqrt{x}.ln \ x}]'[/tex3]
Deriva a função como um todo e logo em seguida deriva a função "interna" ( regra da cadeia ).
Obs. A derivada de e [tex3]^{x}[/tex3] é e [tex3]^{x}[/tex3] .
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.(\sqrt{x}.ln \ x)'[/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\sqrt{x}'.ln \ (x)+\sqrt{x}.(ln\ x)'][/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\frac{1}{2\sqrt{x}}.ln \ (x)+\sqrt{x}.\frac{1}{x}][/tex3]
De ( l ), temos:
[tex3]y'=y.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{1}{2}}.x^{-1}][/tex3]
Mas y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , daí;
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{-1}{2}}][/tex3]
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.x^{\frac{-1}{2}}[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Portanto,
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Ou
[tex3]y'=\frac{1}{2}x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[ln \ (x)+2][/tex3]
Nota
Existem outras maneiras de representar essa mesma solução encontrada!
Bons estudos!
Uma solução:
Faça y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , então;
Aplicando ln a ambos os membros da igualdade, vem;
[tex3]ln \ y = ln \ x^{\sqrt{x}}[/tex3] →
[tex3]ln \ y = \sqrt{x}.ln \ x[/tex3] →
[tex3]y=e^{\sqrt{x}.ln \ x}[/tex3] ( l ) →
Derivando, fica;
[tex3]y'=[e^{\sqrt{x}.ln \ x}]'[/tex3]
Deriva a função como um todo e logo em seguida deriva a função "interna" ( regra da cadeia ).
Obs. A derivada de e [tex3]^{x}[/tex3] é e [tex3]^{x}[/tex3] .
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.(\sqrt{x}.ln \ x)'[/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\sqrt{x}'.ln \ (x)+\sqrt{x}.(ln\ x)'][/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\frac{1}{2\sqrt{x}}.ln \ (x)+\sqrt{x}.\frac{1}{x}][/tex3]
De ( l ), temos:
[tex3]y'=y.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{1}{2}}.x^{-1}][/tex3]
Mas y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , daí;
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{-1}{2}}][/tex3]
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.x^{\frac{-1}{2}}[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Portanto,
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Ou
[tex3]y'=\frac{1}{2}x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[ln \ (x)+2][/tex3]
Nota
Existem outras maneiras de representar essa mesma solução encontrada!
Bons estudos!
Jan 2019
30
13:38
Re: Derivada de Função Logarítmica
eu sinto muita dificuldade nesse tipo de derivada, você poderia me recomendar algum material para estudo?Cardoso1979 escreveu: ↑Qua 30 Jan, 2019 09:52Observe
Uma solução:
Faça y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , então;
Aplicando ln a ambos os membros da igualdade, vem;
[tex3]ln \ y = ln \ x^{\sqrt{x}}[/tex3] →
[tex3]ln \ y = \sqrt{x}.ln \ x[/tex3] →
[tex3]y=e^{\sqrt{x}.ln \ x}[/tex3] ( l ) →
Derivando, fica;
[tex3]y'=[e^{\sqrt{x}.ln \ x}]'[/tex3]
Deriva a função como um todo e logo em seguida deriva a função "interna" ( regra da cadeia ).
Obs. A derivada de e [tex3]^{x}[/tex3] é e [tex3]^{x}[/tex3] .
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.(\sqrt{x}.ln \ x)'[/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\sqrt{x}'.ln \ (x)+\sqrt{x}.(ln\ x)'][/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\frac{1}{2\sqrt{x}}.ln \ (x)+\sqrt{x}.\frac{1}{x}][/tex3]
De ( l ), temos:
[tex3]y'=y.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{1}{2}}.x^{-1}][/tex3]
Mas y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , daí;
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{-1}{2}}][/tex3]
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.x^{\frac{-1}{2}}[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Portanto,
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Ou
[tex3]y'=\frac{1}{2}x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[ln \ (x)+2][/tex3]
Nota
Existem outras maneiras de representar essa mesma solução encontrada!
Bons estudos!
Jan 2019
30
13:52
Re: Derivada de Função Logarítmica
não entendi o " de (l) temos" para baixoCardoso1979 escreveu: ↑Qua 30 Jan, 2019 09:52Observe
Uma solução:
Faça y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , então;
Aplicando ln a ambos os membros da igualdade, vem;
[tex3]ln \ y = ln \ x^{\sqrt{x}}[/tex3] →
[tex3]ln \ y = \sqrt{x}.ln \ x[/tex3] →
[tex3]y=e^{\sqrt{x}.ln \ x}[/tex3] ( l ) →
Derivando, fica;
[tex3]y'=[e^{\sqrt{x}.ln \ x}]'[/tex3]
Deriva a função como um todo e logo em seguida deriva a função "interna" ( regra da cadeia ).
Obs. A derivada de e [tex3]^{x}[/tex3] é e [tex3]^{x}[/tex3] .
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.(\sqrt{x}.ln \ x)'[/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\sqrt{x}'.ln \ (x)+\sqrt{x}.(ln\ x)'][/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\frac{1}{2\sqrt{x}}.ln \ (x)+\sqrt{x}.\frac{1}{x}][/tex3]
De ( l ), temos:
[tex3]y'=y.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{1}{2}}.x^{-1}][/tex3]
Mas y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , daí;
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{-1}{2}}][/tex3]
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.x^{\frac{-1}{2}}[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Portanto,
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Ou
[tex3]y'=\frac{1}{2}x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[ln \ (x)+2][/tex3]
Nota
Existem outras maneiras de representar essa mesma solução encontrada!
Bons estudos!
Última edição: thetruth (Qua 30 Jan, 2019 13:55). Total de 1 vez.
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Cardoso1979
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Jan 2019
30
15:10
Re: Derivada de Função Logarítmica
thetruth escreveu: ↑Qua 30 Jan, 2019 13:52não entendi o " de (l) temos" para baixoCardoso1979 escreveu: ↑Qua 30 Jan, 2019 09:52Observe
Uma solução:
Faça y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , então;
Aplicando ln a ambos os membros da igualdade, vem;
[tex3]ln \ y = ln \ x^{\sqrt{x}}[/tex3] →
[tex3]ln \ y = \sqrt{x}.ln \ x[/tex3] →
[tex3]y=e^{\sqrt{x}.ln \ x}[/tex3] ( l ) →
Derivando, fica;
[tex3]y'=[e^{\sqrt{x}.ln \ x}]'[/tex3]
Deriva a função como um todo e logo em seguida deriva a função "interna" ( regra da cadeia ).
Obs. A derivada de e [tex3]^{x}[/tex3] é e [tex3]^{x}[/tex3] .
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.(\sqrt{x}.ln \ x)'[/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\sqrt{x}'.ln \ (x)+\sqrt{x}.(ln\ x)'][/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\frac{1}{2\sqrt{x}}.ln \ (x)+\sqrt{x}.\frac{1}{x}][/tex3]
De ( l ), temos:
[tex3]y'=y.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{1}{2}}.x^{-1}][/tex3]
Mas y = [tex3]x^{\sqrt{x}}[/tex3] , daí;
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{-1}{2}}][/tex3]
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.x^{\frac{-1}{2}}[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Portanto,
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Ou
[tex3]y'=\frac{1}{2}x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[ln \ (x)+2][/tex3]
Nota
Existem outras maneiras de representar essa mesma solução encontrada!
Bons estudos!
Olá!
[tex3]y=e^{\sqrt{x}.ln \ x}[/tex3]
Então, faça o seguinte :
Chame [tex3]t = {\sqrt{x}.ln \ x}[/tex3]
Daí;
[tex3]y=(e^{t})[/tex3]
Derivando, vem;
[tex3]y'=(e^{t})'[/tex3]
[tex3]y'=e^{t}.t'[/tex3]
Como [tex3]t = {\sqrt{x}.ln \ x}[/tex3]
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\sqrt{x}.ln \ (x)]'[/tex3]
Aqui [tex3][\sqrt{x}.ln \ (x)]'[/tex3] , você aplica a regra da derivada do produto, como eu fiz acima! No geral , encontramos o seguinte resultado ( veja acima ):
[tex3]y'=e^{\sqrt{x}.ln \ x}.[\frac{1}{2\sqrt{x}}.ln \ (x)+\sqrt{x}.\frac{1}{x}][/tex3]
Como [tex3]y=e^{\sqrt{x}.ln \ x}[/tex3] ,fica;
[tex3]y'=y.[\frac{1}{2\sqrt{x}}.ln \ (x)+\sqrt{x}.\frac{1}{x}][/tex3]
Mas, [tex3]y=e^{\sqrt{x}.ln \ x}=e^{ln \ x^{\sqrt{x}}}=x^\sqrt{x}[/tex3] ( Observe lá no início da minha resolução. Outro detalhe, foi aplicado uma das propriedades dos logaritmos natural ), resulta;
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}}.[\frac{x^\frac{-1}{2}}{2}.ln \ (x)+x^{\frac{-1}{2}}][/tex3]
Portanto,
[tex3]y'=x^{\sqrt{x}-\frac{1}{2}}.[\frac{1}{2}.ln \ (x)+1][/tex3]
Rapaz, tem alguns materiais ( livros , apostilas , etc ) que podem ser baixados na internet, eu pelo menos gosto muito do livro do Guidorizzi.
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