Ensino Superior ⇒ Série divergente ou convergente? Tópico resolvido

[magben]

Determine se a série convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+2}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+2}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Compare com a integral [tex3]\int\limits_{1}^{∞}\frac{1}{x+2}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{1}^{∞}\frac{1}{x+2}dx[/tex3]

, já que a mesma tem comportamento "parecido" com a série dada. Analisando essa integral vemos que ela diverge para +∞ , logo a série também divergirá.


Nota

Tanto pelo teste da razão como pelo teste da raíz os testes são inconclusivos.


Bons estudos!

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Se [tex3]f(x)=\frac{1}{x+2}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\frac{1}{x+2}[/tex3]

então f( x ) é decrescente pois f'( x ) < 0.

Integrando por substituição: u = x + 2 → du = dx , temos:

[tex3]\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{x+2}dx=\lim_{t \rightarrow +\infty}\int\limits_{1}^{t}\frac{1}{x+2}dx=\lim_{t \rightarrow +\infty}[ln (x+2)]_{1}^{t}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{x+2}dx=\lim_{t \rightarrow +\infty}\int\limits_{1}^{t}\frac{1}{x+2}dx=\lim_{t \rightarrow +\infty}[ln (x+2)]_{1}^{t}[/tex3]

→

[tex3]\lim_{t \rightarrow +\infty}[ ln(t+2)-ln3][/tex3]

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[tex3]\lim_{t \rightarrow +\infty}[ ln(t+2)-ln3][/tex3]

= + ∞ e a integral diverge. Pelo teste da integral, a série dada [tex3]\sum_{}^{}f(n)[/tex3]

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[tex3]\sum_{}^{}f(n)[/tex3]

também diverge pois a integral diverge e f(x) é decrescente e positiva.


Nota

f'( x ) = [tex3]-\frac{1}{(x+2)^2}[/tex3]

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[tex3]-\frac{1}{(x+2)^2}[/tex3]

Bons estudos!